Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.

Date:: [1837]

Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

10/44 (page 10)

$jointe à celle qui précède, entraînera la suivante /(x) = M[/(a) 4- v(x — a), /(a) + V(x — a)J, de laquelle on tirera, en posant successivementa = x0, « = X, /(x) = M[/(x0) -f- K* — xc), /(x0) -f V(x — xJ], /(a:) = M[/(X) + v(x _ X), /(X) 4- V(x — X)]. Or de ces dernières, jointes au 3* théorème , du paragraphe 1er, on déduira immédiatement la proposition que je vais énoncer. Tliéoreme. Soit (i) /(*) = o une équation dont le premier membre reste fonction continue de x, ainsi que sa dérivée, entre les limites X Z= Xo, X = X > x0. Nommons v la plus petite, Y la plus grande des valeurs que la fonction f'(x) puisse recevoir entre les limites dont il s’agit, ou bien encore, deux quantités, la première inférieure à la plus petite de ces valeurs; la se- conde, supérieure à la plus grande; et concevons que l’on résolve les équations linéaires (2) /(X0) 4- — Xo) = O, f{XD) 4- V(X — X0) = O, (3) /(X) 4- v(x — X) = o, /(X) 4- V(x - X) = o. Supposons d’ailleurs que, dans le cas où des valeurs de x, renfermées entre xa, X, vérifieraient, comme racines, soit l’équation (i), soit les équations auxiliaires (2) et (3), on nomme £ et S la plus petite et la plus grande de ces racines pour l’é- quation (1), x, et x, 4-cT, la plus petite et la pins grande pour le système des équations (2), X, et X, —g, la plus grande et la plus petite pour le système des équa- tions (3). Si l’équation (1) admet effectivement des racines réelles comprises entre les limites x0, X, l’existence de ces racines entraînera l’existence des nouvelles limites 1 y 1 1$