Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

  • Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.
Date:
[1837]
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Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

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    ( >3 ) Si, les limites xa, X étant des quantités de même signe , l’équation (2) a pour premier membre une fonction entière de x, on pourra prendre pour <p(.r) la somme des termes positifs de ce premier membre, et pour — X(x) la somme des termes négatifs. Corollaire 2. Si les limites .r0,Xsont assez rapprochées l’une de l’autre pour que la fonction dérivée du second ordre f(x) ne change pas de signe entre ces limites, la fonction dérivée du premier ordre f '(x) sera toujours croissante, ou toujours décroissante depuis x = xQ jusqu’à x=zX. On aura donc alors, pour une valeur de x comprise entre les limites données, /» = M[/'(*„), /'(X)]; et par suite on pourra prendre pour v et V la plus petite et la plus grande des deux quantités (8) /'(*„), /'(X). Corollaire 3. Supposons les valeurs dey, V déterminées d’après une des règles énoncées dans les corollaires 1 et 2, ou d’après toute autre règle, en vertu de laquelle, la condition y» = M(v, V) étant vérifiée pour toute valeur de u comprise entre xD, X, les limites v, V se rapprochent l’une de l’autre en même temps que les limites xa, X. Supposons d’ailleurs que l’équation (1) offre une ou plusieurs ra- cines réelles entre les limites x0, X. L’existence de ces racines entraînera l’existence des nouvelles limites désignées par x,, X,; et si l’on repré- sente par (9) *0, *3, etc., (io) X, X,, X,, X3, etc. ^ deux séries, dans chacune desquelles le troisième terme se déduit du second , le quatrième terme du troisième , etc., comme le second terme se déduit du premier, le terme général de la série (9) s’approchera indéfini- ment de la racine £ , et le terme général de la série (10) de la racine H , £ étant la plus petite et H 1a plus grande des racines dont il s’agit. En effet, soient Vm 1 ^ m