Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

  • Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.
Date:
[1837]
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Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

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    racines x0 H-fx, X —M qui vérifieront la condition (9) avec la suivante (12) X — N<s<X — M. Corollaire 1. Si la limite xa était racine de l’équation (1), elle devrait être pareillement racine de l’équation (5); et, en excluant cette racine , on pourrait énoncer encore le 2e théorème, pourvu que l’on remplaçât, dans la formule (3), la quantité f (ac0') par J {pc0 -f- g), g désignant un nombre infiniment petit. Corollaire 2e. Si la limite X était racine de l’équation (1), elle devrait être pareillement racine de l’équation (7) ; et, en excluant cette racine, on pourrait encore énoncer le 2e théorème, pourvu que l’on remplaçât, dans la formule (4), la quantité f (X) par f(X — g), g désignant un nombre in- finiment petit. Corollaire 3e. Supposons la fonction f (x) décomposée en deux autres <P (*), — X (*), dont les dérivées <?' (*), — x (*) 1 soient la première toujours croissante, et la seconde toujours décroissante, pour des valeurs croissantes de a:, comprises entre les limites données; ce qui arrivera, par exemple, si, ces limites étant positives, et f{x) une fonction entière, on prend pour <p (x) la somme des termes positifs, et pour — % (x) la somme des termes négatifs. En désignant par a une quantité comprise entre les limites xD, X, ou même équivalente à l’une de ces limites, on aura, en vertu d’une formule connue (13) p(x) = *(«) + (* — a) <p' (k), % (x) = as (a) -f (x — d) (u) , les quantités «, v étant renfermées elles-mêmes entre a et x, à plus forte raison entre les limites x0, X; puis, en ayant égard à l’équation identique (*4) /(*) =<P (*) — X (*) t on tirera des formules (i3) ( 15) /(x) =/(a) -f- (x — a) 0' (u)—X (•»)]• Comme on aura d’ailleurs, dans l’hypothèse admise, (16) <p' (x0) < <p' (U) < <p' (X) , x' (x#) < x' (V) < <x> r %