Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.

Date:: [1837]

Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

7/44 (page 7)

$soit comprise entre les limites x0,X, pour que l’équation (i) offre certaine- ment des racines renfermées entre ces limites. Nommons £ la plus petite , et E la plus grande de ces racines, les deux racines E pouvant quelque- fois se réduire à une seule. Si la quantité x0 -f- £ est comprise entre les li- mites x0, X, on pourra en dire autant des quantités x0 -f-a, X— A, qui véri- fieront les conditions (3.) *<$ <X„ + S, (32) - < X—A ; et si la quantité X—B est comprise entre x„,X, on pourra encore en dire autant des quantités x0 -f- a, X —A, qui vérifieront les conditions (33) *„ + «<?, (34) X—B < h < X—A. Nota. Lorsqu’à la formule (i5) on substitue la suivante : f(x) — /(«) + (*—«) /'(«) + ~ (x—ay [<p\u)—x («)], alors on obtient le théorème suivant analogue à celui qu’on vient d’é- noncer. 4® Théorème. Le premier membre de l’équation donnée f(x) = O étant un polynôme en x du degré n, supposons qu’on cherche la racine positive immédiatement inférieure à une limite donnée X. On posera - = /(X), £ = /'(X), et l’on prendra pour y la moitié du résultat qu’on obtient en écrivant X au lieu de x dans la dérivée du second ordre de la partie de f{x) qui se compose de termes affectés d’un signe opposé à celui de la quantité y(X); puis on résoudra l’équation du second degré (34) « + |3(* — X) + >(* — X)a = o. Si l’on nomme X, la plus petite racine de cette dernière équation et X, X,, Xa, X3,... une série de quantités dont la troisième se déduise de la seconde, la qua- trième de la troisième, etc comme la seconde se déduit de la première , la racine cherchée sera la limite vers laquelle convergera très rapidement le terme général de cette série. Si l’on prenait pour X une limite supérieure à toutes les racines po- sitives, la méthode indiquée ferait connaître la plus grande de ces racines»$