Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.

Date:: [1837]

Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

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$La méthode est applicable au cas même où X serait une racine posi- tive déjà trouvée, et fournirait alors la racine positive immédiatement in- férieure. Démonstration. En conservant les notations du théorème 3 et suppo- sant de plus x0 = o, X > o, on aura non-seulement *(*) = *(X) + (*-X) <p'(X) + *» u étant compris entre x0 et X, mais aussi <?(«)> o *»< <P(X), et par suite <p(x) > <p(X) + (x — X) <p'(X) , *(*) < ?(X) + (* - X) *'(X) + (X ÿ *(X), on trouvera de même pour des valeurs de x inférieures à X x(x) > *(X) -I- (x — X) *'(X) *(*) < AS(X) + (* - X) *'(X) + **(X) et comme on a f(x) = <p(x) — %(x) on trouvera, /(*) > /(X) + (* - X) /'(X) - (—* (X) < /(X) + (*-*) /'(X) + *(X) ; donc, d’apres le théorème 2, la plus*grande des racines de la proposée inférieures à X sera surpassée si y(X) est positif par la plus petite des racines de l’équation auxiliaire /(x) + (x-X) /'(X) - *'(X) = 0, et si y(X) est négatif la plus petite racine de l’équation /(X) + (x-X) /'(X) + <X~2X” »(X) = o. Donc, etc. Exemple. Soit donné à résoudre l’équation de Lagrange *3“ 7* + 7 — o» et supposons que l’on cherche ses racines positives. Comme on aura ( voir l'analyse algébrique) x*-}- 7 > 2\/rjx3, les racines positives de la proposée$