Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.

Date:: [1837]

Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

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$seront inférieures à la racine positive de l’équation auxiliaire 2 \/']x3=-’]Xi c’est-à-dire à | = 1,75. De plus la formule (1) donnera, pour X=i,75, (X3 — 7X + 7) -f- (3X’ — 7) (x — X) = o, x = 1,7... environ, Et pour X = 1,7... (X3 — 7X -J- 7) -f- (3X*— 7) (x — X) -f- 3X(.c — X)a = o, x= i,38... En posant de nouveau x = i,38, on trouvera x = 1,356g... En po- x = i,70, on trouvera 1,692. Les deux racines de la proposée sont en effet i,35Ü9 et *>692. Ajoutons, que les conclusions précédentes subsisteront lors même que f{pc) sera une fonction transcendante, si cette fonction est décompo- sable en deux parties <p(x) et x{x) telles que chacune des dérivées <p(x) %(.r) acquerra des valeurs positives toujours croissantes pour des valeurs positives de x. § II. — Méthode linéaire. Étant donnée une fonction f(x) qui reste finie et continue ainsi que sa dérivée f\x) entre les limites x — x0) x = X > x0, on aura , en supposant xetfl renfermés entre ces limites , f(x) = /(«) 4- — a)f'(u), la valeur de u étant elle-même renfermée entre a etx, à plus forte raison entre xa et X. Cela posé, nommons v, V la plus petite et la plus grande des valeurs que la fonction dérivée f\x) puisse acquérir entre les limites x = x0 , x = X, ou bien encore deux quantités dont la première soit inférieure à la plus petite de ces valeurs, et la seconde supérieure cà la plus grande. Si l’on désigne par la notation M(v, Y) une quantité comprise entre t>et Y, l’équation /'(«) = M(v, Y), 2$