Mémoire sur la résolution générale des équations d'un degré quelconque / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Académie dans les séances des 22 mai et 29 mai 1837.).

Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.

Date:: [1837]

Credit: Mémoire sur la résolution générale des équations d'un degré quelconque / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Académie dans les séances des 22 mai et 29 mai 1837.). Source: Wellcome Collection.

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$supérieur à et par suite toutes les racines de l’équation (19) seront développables, même pour iz=k, en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de i, ces séries ayant pour premiers termes les racines déjà calculées de l’équation (17). Mais, quand on poseï=A', l’équation (19) se réduit à l’équation (1). Donc, si l’équa- tion (i) a toutes ses racines réelles et inégales, la résolution de cette équation pourra être réduite à celle de l’équation (17), par conséquent à celle de l’équation binôme (18). Observons d’ailleurs qu’en supposant (24) = , on réduira les équations (17), (18), (19) à (2$) /f = f (ar) v/—I, (26) (27) k =z i f{x) —I, ou tandis qu’en supposant (28) = _ v/:r7, 2 , on réduira les équations (17), (18), (19), à (29) — (3o) A = —I, (3i) k= t — f (x) y/—I, ou ï = Â- -J- f(Æ') — I. On peut donc énoncer la proposition suivante. i*' Théorème. Lorsque l’équation (i) a toutes ses racines réelles et iné- gales, on peut obtenir chacune de ces racines développée en série convergente; et, pour y parvenir, il suffit de poser z=:A, dans les développements des racines de l’équation (2’]) oxx (3i), en séries con- vergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de i, ces séries ayant pour premiers fermes les racines de l’équation (aS) ou (29), développées suivant les puissances descendantes et fraction- naires de k, ou, ce qui revient au même, suivant les puissances ascen- dantes et entières des valeurs de A, propres à vérifier l’équation binôme (26) ou (3o). Concevons maintenant que la fonction f(x) étant toujours de (orme réelle, l’équation (i) ait encore ses racines toutes distinctes les unes des •=W-'’ _ i — k — f(j:) Ÿ—'$