Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    halten. Da lim D2^_i(m) = 0 ist, schließt diese Ung-leichung eine Aus- sage über das Verhalten der Ableitungen ^~, w~ am Rande des Einheits- kreises in sich. Wie (21) auf dem Wege über (19) sich aus den Formeln (I) ergibt, erhalten wir mit Benutzung des Formelsystems (II): J w- 2/ ~^ 2n(w-f 1) In Verbindung mit (21) liefert das die Ungleichung (24) 3{u-'';)<Id{h). Diese Ungleichung steht in engem Zusammenhang mit einem interessanten elementaren Problem der Analysis. Fragt man sich, wie gut man eine Funktion v von zwei Argumenten xy in einem Bereich & durch eine Konstante annähern kann, so sagt darüber der erste Mittelwertsatz der Differentialrechnng aus, daß sich, wenn ich als Annäherungskonstante den Wert von v in einem festen Punkt (x^yo) nehme. I v{^y) - ^i^'oVo)! £ Max. ]/(|^)'+ (f^)'x Entfernung {xy; x,y^) ergibt. Hier wird als Fehler das Maximum des absoluten Betrages der Differenz \v — Vq\ angesehen, und dessen Größe erweist sich als wesent- lich bestimmt durch das Max. 1/ (^^ j + U—j . Beurteilen wir aber den Fehler, wie es der Methode der kleinsten Quadrate entspricht, nach dem Quadratintegral I {v — v^ydxdy, so wird man erwarten dürfen, daß die durch geeignete Wahl der Konstanten Vq erzielbare Annäherung be- stimmt ist durch den Wert von flu f^'+m>'^- Diese Vermutung wird durch die obige Ungleichung bestätigt für den Fall, daß der Bereich & der Einheitskreis und v eine Potentialfunktion ist. Von der letzten Voraussetzung wollen wir uns befreien, indem wir, unter Verwendung der oben benutzten Bezeichnungen, allgemein beweisen: (25) j(^-|)^iD(^)- — ist im allgemeinen nicht der Wert von v im Mittelpunkt, son- dern der Mittelwert von v auf dem Rande des Kreises: