Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    0 Wir bedienen uns der Schwarzsehen Ungleichung ^*o ^ 'o 'o für die man auch schreiben kann V f(f±9yc^x£yj)'dx + yfg^dx b 0 0 \f{x), g{x) sind irgend zwei stetige Funktionen im Intervall 0 ^ a; ^ 1]. Sie ergibt sich daraus, daß die quadratische Form in Au: 1 J\/l • fix) 4- ^ ■ g{x)ydx = A/12 + 2BAa + Titt^ 0 nicht negativ werden kann und also ihre Diskriminante Ar-B2^0 sein muß. Für eine im abgeschlossenen Einheitskreis stetige, am Rande ver- schwindende, im Innern stetig diiFerentiierbare Funktion, wie es w = v—u ist, erhalten wir mittels der Schwarzsehen Ungleichung / r ~- 2 < (0<ri<r,<l) Integriert man diese Ungleichung nach cp und läßt dann n gegen 1 kon- vergieren, so ergibt sich, da ist, die Beziehung 2« (26) j\w(:r^f)Yd^ £\g\. m {w). b Von dieser Ungleichung werden wir sogleich noch eine wichtige An- wendung machen. Vorerst ersetzen wir rechts DJ:(f(;) durch das größere D(if), multiplizieren mit rdr und integrieren nach r von 0 bis 1. Dann ergibt sich, da