Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    x{r) — 1 wird bei r = 1 von 1. Ordnung Null, und aus der Ungleichung (23) geht daher hervor, daß der erste auf der rechten Seite stehende Summand bei Annäherung an die Peripherie des Einheitskreises vom Innern aus gleichmäßig gegen 0 geht; daß der zweite Summand das- selbe tut, bedarf kaum der Erwähnung. Wir schätzen jetzt das über den Einheitskreis zu erstreckendeDirichlet- Integral J)(v — u) = DJ Ixir) {v — u)] ab. Da ist, so erhält man für dieses Integral einen Wert ^ dem doppelten von Der erste Summand hier ist wegen %' ^1: der zweite, da nach (26) iv'd(f £ (], - l) J)](w) {q < r < 1) ist: 0 1 9 Im ganzen kommt also D(r) - D(rO = D({- - u) £ |Di(w;), und das kann durch geeignete Wahl von q so klein gemacht werden wie man will. § 14. Ansatz zum Beweis der Existenztheoreuie. Aufstellung der Elementardifferentiale. Statt eine analytische Funktion auf der vorgegebenen geschlossenen Riemannschen Fläche ^ zu konstruieren, suchen wir zunächst nur den Realteil einer solchen, d. i. eine reelle auf der Fläche harmonische Funk- tion. Eine überall reguläre Potentialfunktion auf der Fläche existiert aber (wenn man von der Konstanten absieht) nicht. Wir werden daher für die harmonische Funktion an einer Stelle eine Singularität zulassen, und zwar die einfachste, welche es gibt: sie soll sich dort verhalten wie der Realteil einer analytischen Funktion, die einen Pol 1. Ordnung be- sitzt. Wir gehen also darauf aus, folgendes Existenztheorem zu beweisen: Ist 0 mit der Ortsuniformisierenden Zq = Xq -\- iy^ ein uillkürliclier