Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    bedeuten, daß zu jeder positiven Zahl s eine positive Zahl d derart an- gegeben werden kann, daß für alle Konkurrenzfunktionen v, für welche D(i') < fZ + d ist, der Unterschied &iv) — &q < £ wird. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß ein lini'9'(u) in diesem Sinne existiert, ist die, daß zu jedem positiven £ ein positives d gefunden werden kann derart, daß für irgend zwei Konkurrenzfunktionen i\, ig, welche dem Dirichletschen Integral Werte <. d -\- ö erteilen, &{1\)-&(V,) <£ wird. Der Satz, den wir zu beweisen haben, lautet: Es gibt eine Kon- JiurrenzfunJction u mit der Uigenschaft D(m) = d. Wir beginnen diesen Nachweis mit der jB. LeviscJien Ungleichung^), welche aussagt, daß zwei Konkurrenzfunktionen i\, v^, deren Dirichlet- sches Integral der unteren Grenze d nahekommt, eine Differenz i\ — v^ besitzen, deren Dirichlet-Integral sehr klein ist: y-D{v,^-t,) ^yD(z;j)^7 + yW(y,)'^^d. Sind nämlich A^, X^ irgend zwei Konstante, A^ + /lg =t= 0, so ist mit i'i, Vg auch eine Konkurrenzfunktion, und daher Diese Ungleichung verliert ihre Gültigkeit für Xj -\- X^ = 0 nicht. Die quadratische Form von Aj, X^: Xl[Div,) -d] + 2X,X,[J){v,v,) -d] + A|[D(i;„) - d] ist also stets > 0, und darum muß [-D(v,)-d][J)iv,)-d]>[D{v,v,)-dY Es ist aber 0 £ Div, - V,) = D(i'J - 2J)(v,v,) + D(tg = [DM -d] + [D(.,) -d]- 2[J)iv,v,) - d] £ [DK) -d] + [D{v,) -d] + 2y[-D{v,) - d] [-D(v,) - -d] = lyD{v,)-d+yj){v,)-d\'- Aus der Levischen Ungleichung kann man bereits etwas ähnliches schließen wie, daß v selber, wenn man es so variiert, daß T)(v) seiner unteren Grenze d entgegengetrieben wird, gegen eine Grenzfunktion konvergiert, die dann die gesuchte Minimalfunktion sein wird. Ist näm- 1) B. Levi, Sul principio di Dirichlet, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. 22 (1906), S. 293—360, § 7.