Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    so liefert die Addition von (31 \ (32) wegen c''£2[iv'i-(c-wy]: und dann 11 w^dx^dy^ ^ 2| j j{tv — c^dx-^dy^ + c^a\n\ Damit ist der Beweis für K^ erbracht. Von K^ schließen wir jetzt auf Kg usf. und kommen schließlich bei K„ = K an. Wenden Avir das Ergeb- nis auf die Differenz zAveier Konkurrenzfunktionen v^, v^ an, so haben wir (33) fßv^ ~ v,ydxdy £ C[yi}{v,)-d +yW(^j-'d] '• Den Mittelwert K einer in K stetigen Funktion bezeichne ich allgemein mit M f. Die Punkte auf der gelochten Fläche und die Punkte im Deckel betrachte ich gesondert. Liegt p auf der gelochten Fläche, so werde K so genommen, daß auch K ganz in der gelochten Fläche liegt. Es existiert dann ge- mäß der letzten Ungleichung lim M V = M. Ist p ein Punkt im Deckel, Z(^{p) = c„, so möge z^ — c^ als Ortsuniformi- sierende z angenommen werden, und der r-Kreis K liege ganz im Deckel. Es existiert lim M v* = u*. Wir behaupten: u, u* hängen nur von p ah, nicJit aber von der Wahl der Ortsuniformisierenden z und von dem z-Kreise K. Ich führe den Beweis für die Punkte p in der gelochten Fläche durch. Sei also z = x -\- iy eine andere Ortsuniformisierende zu p, K': j/j ^ a' ein ^'-Kreis. Ich nehme zunächst an, daß K' ganz in K gelegen ist. v sei diejenige Potentialfunktion in K, die am Rande mit v übereinstimmt. Es ist J^Y^iv) ^ \)^{v), und es gibt eine Konkurrenzfunktion f, die außer in K mit V übereinstimmt und für welche