Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    innerhalb K verbunden seien. Durch longitudinale Aneinanderreihung- von Doppelquellen längs y, d. h. durch Aneinanderreihung von Doppel- quellen konstanten Moments, deren Richtung mit der Richtung von y zu- sammenfällt, erhalten wir in (35) jV^v(P)^^«*-3iv(P)f^^p*} = 9ftp.cAP) [l.*4-^V = ^(q*)] eine Potentialfunktion, die in qj, q^ je eine Senke, bzw. Quelle, d. h. je eine logarithmische Singularität mit den Residuen + 1 bzw. — 1 besitzt [Entstehung eines Magneten aus Elementarmagneten!], und damit also das Abelsche Integral 3. Gattung «a^q^. Denn für Punkte !p, die nicbt in K liegen, ist offenbar die linke Seite von (35) eine reguläre Potential- funktion; liegt aber p in K, so ist sie nach (34) bis auf eine additiv hin- zutretende reguläre Potentialfunktion =lg^i — lg>'2, wo ^1,^2 ^i^ gerad- linigen Entfernungen von qj, (\^ nach p in der S;-Ebene bedeuten. — Durch transversale Aneinanderreihung der Doppelquellen erhalten wir in (35') J[^x,.{^)dri,.+ ^x',.{)?)dU.] = ^co',^,XV) eine Potentialfunktion, die in q^, C{^ zwei Wirbelpunkte mit entgegen- gesetztem Drehsinn hat [Äquivalenz einer magnetischen Doppelschicht mit einem elektrischen Strom!], die nämlich für Punkte p innerhalb K bis auf eine additive reguläre Potentialfunktion gleich dem Winkel ist, den die geraden Verbindungslinien q^p, qgp in der ^Ebene miteinander bilden. Die Funktion Üicjo^q^^ist nur auf der längs des Integrationsw^eges y aufgeschnittenen Fläche ^ eindeutig. Zur vollständigen Begründung dieser Herleitung ist die für die Möglichkeit der in (35), (35') vollzogenen Integrationen wesentliche Stetiglieit von 9t t^*, 9?t'c* inbezug auf den „Parameter q* noch zu be- weisen. Dazu müssen wir auf die Konstruktion dieser Potentialfunktionen zurückgreifen. Wir bilden, indem wir unter f (q*) den Spiegelpunkt von t(q*) in der ^-Ebene inbezug auf den Kreis K verstehen, --«)=<^,.,-(^r(,3i^.,y] und setzen j9^Tq* außerhalb K ^''* ^ (9ir,* - Oq* innerhalb K. Da Op* am Rande von K die normale Ableitung 0 hat, erteilt u^* — u^ unter allen Funktionen v, welche am Rande von K den Sprung O^* — O^ haben, sonst aber stetig sind, dem über ganz ^ erstreckten Dirichlet- schen Integral D(v) seinen kleinsten Wert. Als Vergleichsfunktion kann