Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    insbesondere diejenig-e Funktion v dienen, welche außerhalb K gleich 0, innerhalb K aber als die in ihren Randwerten mit 0q — 0p» überein- stimmende reguläre Potentialfunktion erklärt ist: 47rg*(2-3*) / ^ (q*) (36) D(tv-w,)^D(.) ^, ^^_^,^, ^, ^ ^. Das Dirichletsche Integral von Wj,* — Mq konvergiert also gegen 0, wenn q* gegen q geht; daraus ergibt sich die behauptete Stetigkeit. Ist p =4= ^> so nehmen wir K so klein, daß p außerhalb K zu liegen kommt, und wählen eine Ortsuniformisierende z zu p und einen Kreis K: \z \-^a um p, der keinen Punkt mit K gemein hat. Ist p* ein in K variabler Punkt, z (p*) = x-\- iij, ^>(p*j i = r, dann folgt aus (36) und (22): \dx dx) '^\dy cyj ^ Laa(l — g^ (1 — r)J ' d.i. (^rq* _d^ ^ o-,/9 2 dz dz ^ ^y ^ aa{l — q^){l — r)' daher (37) lim -f^* = ^ «•-« dz dz gleichmäßig inbezug auf p* wenn p* auf einen etwas kleineren kon- zentrischen Kreis als K beschränkt wird (r ^ ^'o < 1). — Liegt p in K, so folgt aus (36j: (du,*{i) _ dti^_{^Y-t /^<di) _ ^^^v ^ ör ^ f /♦. - liJ^ l dl di ) '^\ dn cn ) ^ U*(i-2Mi-r)J' \ «/' somit gleichmäßig für t, ^r^a (r^ eine feste Zahl < 1): 1- dUc*iS) g«q*(g) ^ g«q(g) gMq(g) ,'™ aa ' aT] ai ' ^tj • Nehmen wir die Normierung der additiven Konstanten durch die Gleichung iiq*(q*) = 0 vor, so ergibt sich hieraus durch Integration: 1) lim iiq*(p) = -Rq(p) gleichmäßig für alle p in einer gewissen Um- ''* = '' gebung von q; 2) lim 9fiTp*(p) = S^^Tpfp) gleichmäßig für alle p auf ^, wenn man eine beliebig kleine Umgebung der Stelle q ausscheidet. Damit sind die behaupteten Stetigkeitseigenschaften für die (belie- bige) Stelle q* = q erwiesen. (35), (35') fassen wir in die eine Gleichung zusammen