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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
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![vom absoluten Betrage 1 ist somit eine eindeutige Funktion von p. Sind S, T irgend zwei Decktransformationen von ^ in sich, so gilt Allgemein: ist auf irgend eine Weise jeder Decktransformation S von % eine Zahl %^ vom absoluten Betrag 1 so zugeordnet, daß die Multipli- kationsregel zutrifft, so sagt man, es sei ein Charakterensystem (der kommutativen Gruppe aller Decktransformationen von % in sich) definiert. Dement- sprechend wollen wir die den verschiedenen Transformationen S entspre- chenden Größen %<j(p) das System der Iiitegralcharaktere von p nennen. Die sämtlichen Integralcharaktere von p geben, heißt soviel als: simultan die Werte aller Integrale 1. Gattung an der Stelle p angeben — oder ge- nauer: das angeben, was an diesem simultanen Wertsystem gegenüber Verlagenmg des Integrationsweges invariant ist. — Für eine spätere An- wendung bemerken wir noch, daß, Avenn man ein Charakterensystem als ein Individuum, einen „Punkt betrachtet, die Gesamtheit aller möglichen Charakterensysteme eine geschlossene 2^-dimensonale Mannigfaltigkeit bildet. Denn ist eine Basis für die Gruppe der Decktransformationen von ^ (vergl. S. 74), so erhält man alle Charakterensysteme einmal und nur einmal, wenn man XSi,XS2,---, XS2p unabhängig voneinander in einer ;^-Ebene die Peripherie des Einheits- kreises j^ = 1 durchlaufen läßt. Mit Hilfe der Formeln (II) läßt sich das B,eziprozitätsgesetz (I) von den Differentialen 2. Gattung auf die Integrale 3. Gattung ühertragen: ,,j H'\S.=^'\d:' 3Kj;;-3^K.-]:;. Diese Gleichungen, die als der Satz von der Vetiauschung von Argument und Parameter bezeichnet zu werden pflegen, sind gültig, wenn die be- nutzten Wege Pip2) Qi ^2 ^i*^^ nicht überkreuzen. Zum Beweise setzen wir voraus, das der Weg p^ pg ganz in dem r-Kreise K um p, q^ q^ ganz in dem ^-Kreise K um q liegt. Wir können annehmen (was ev. erst durch Drehung des Koordinatenkreuzes erreicht werden muß, die aber auf die Bedeutunsr der Difierentiale dco , dco ohne Einfluß ist) daß die geradlinige Strecke s = (p^ pj) in der ^-Ebene parallel zur reellen (a:-) Achse, die Strecke & = (q, q^ in der ^-Ebene zur reellen (S-) Achse parallel ist. Ersetzen wir nunmehr in der 1. Gleichung (I) p, q durch die innerhalb](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0130.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
