Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    lagerung-sfläche der Integralfunktionen (denn w ist selber eine Integral- funktion), zugleich aber, da die Ebene einfach zusammenhängend ist, die „universelle Überlagerungsfläche, tv ist für die Funktionen auf der Grundfläche ^ eine uniformisierende Variable, d. h. alle diese Funktionen stellen sich dar als eindeutige Funktionen der in der schlichten Ebene variierenden komplexen Veränderlichen u; und zwar geschieht die Dar- stellung hier — dem Umstände entsprechend, daß zu allen Punkten tv eines A-Gitters vermöge w = w{p) derselbe Punkt p gehört —, durch doppeltperiodische, sog. elliptische Fmiktionen. Zwei Kiemannsche Flächen vom Geschlechte 1 sind in ihrer Normalform ^i^-, ^y^ dann und nur dann konform-äquivalent, wenn die Gitter von der Gestalt A' und A Euklidisch-ähnlich sind. Das im Falle p = 1 durch die elliptischen Funktionen gelöste „TJm- Jcehrproblem besteht für eine Fläche ^ von beliebigem Geschlecht p in folgendem: Ist wl[]i = 1, 2, •.., p] eine komplexe Basis der Differentiale 1. Gattung auf ^, so sollen zu beliebig vorgegebenen Zahlen /j, ..., /^^ Punkte pj, ..., p auf ^ so gefunden werden, daß (bei geeigneter Wahl der Integrationswege) p (45) 2<(^')-'^ [h^l,2,...,p] 1 = 1 wird. Dieses Umkehrproblem ist im Anschluß an das Abelsche Theorem von Jacobi aufgestellt worden und fand nach wichtigen Vorarbeiten von Göpel und Rosenhain allgemein durch Riemann und Weierstraß mit Hilfe der ^-Funktionen, gewissen ganzen transzendenten Funktionen der p Argumente J^^, seine Erledigung.-^) Das Problem kann offenbar auch so formuliert werden: Zu einem vorgegebenen Charakterensystem x^. sollen Punkte pp p2> ■ • •■> Pp bestimmt werden, für die (46) XsiPi)-X,(P-^---Xs%)-X.s wird; und es ist dann nach dem Abelschen Theorem der Aufgabe äqui- valent, eine Funktion Q _ MV-j Pp ^~ pr 1) Riemann, Theorie der Abelschen Funktionen, Grelles Journal, Bd. 54 (1857) = Werke, 2. Aufl., S. 88—142; Über das Verschwinden der Theta-Funk- tionen. Grelles Journal, Bd. 65 (1865) = Werke, S. 212—224. Weierstraß. Vor- lesungen über die Theorie der Abelschen Transzendenten, Werke, Bd. 4. Stahl, Theorie der Abelschen Funktionen, Leipzig 1896. Prym und Rost, Theorie der Prymschen Funktionen erster Ordnung, Leipzig 1911, 2. Teil, 7. Abschnitt. Erazer, Lehrbuch der Thetafuuktionen, Leipzig 1903. — Die große Bedeutung des Um- kehrproblems liegt für uns Heutige nicht nur (und wohl nicht einmal überwiegend) in seinem Wert an sich als in den großartigen Gedankenreihen, zu deren Schöpfung Riemann und Weierstraß durch die Bemühungen um seine Lösung getrieben wurden.