Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    liängige Abelsche Differentiale 1. Gattung durcheinander dividieren. Erst von ;; = 3 ab ist der liyperelliptisclie Fall nicht mehr der allgemeine.^) Wenn man nicht, wie es hier geschehen ist, von der Riemannschen Fläche ausgeht, sondern von einer bestimmten algebraischen Gleichung F,{u) = 0 (wie es in der Weierstraßschen und anderen Theorien ge- schieht), wird man es als eine naturgemäße Forderung betrachten können, alle diejenigen Funktionen und Differentiale, deren Existenz in den vorigen Abschnitten mit Hilfe des Dirichletschen Prinzipes erschlossen ist, auf rein algebraischem Wege als rationale Ausdrücke in z, f [die Differentiale in der Form B{ß^f)dz'] zu konstruieren. Sobald aber das Gegebene nicht eine algebraische Gleichung, sondern die Riemannsche Fläche ist, muß im Gegenteil der hier im Anschluß an Riemann bespro- chene funktionentheoretische Weg als der natürliche erscheinen. Wie ^\-ichtig auch jene algebraischen Konstruktionsprinzipien sein mögen, namentlich mit Rücksicht auf spezielle Anwendungen der Theorie, — man wird doch den Standpunkt Riemanns als den höheren bezeichnen dürfen, da von ihm aus ein umfassenderer und tieferer Einblick in die eigentümlichen Gesetze, welche dieses Gebiet mathematischer Erkenntnis beherrschen, möglich wird, als sich auf anderem Wege gewinnen läßt. Selbst wenn man den Weierstraßchen Begriffsbildungen folgt, wird man, wie ich schon früher erwähnte, die Auffassung des analytischen Gebildes als einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit nicht umgehen können, ohne den Dingen Gewalt anzutun, und es ist dann nur ein kleiner Schritt, die dieser Mannigfaltigkeit zukommenden Analysis-situs-Eigenschaften — deren tiefeinschneidende funktionentheoretische Bedeutung inzwischen zur Genüge hervorgetreten ist — allen anderen als die primitivsten voranzustellen. Darüber hinaus ist für die Riemannsche Art der Be- 1) Der Abriß der Theorie der algebraischen Funktionen, den wir hier geben konnten, ist nur unvollständig. Genaueres findet der Leser außer in den bereits zitierten Werken von Eiemann, Weierstraß, Klein, C. Iseumann, Stahl, Hensel-Landsberg noch in folgenden Darstellungen: Clebsch und Gordan, Theorie der Abelschen Funktionen, Leipzig 1S66 ikurventheoretisch). Brill und Noether, Über die algebraischen Funktionen und ihre Anwendung in der Geometrie, Math. Ann. Bd. 7 (1874 , S. 269—310 (kurventheoretisch); Die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen, Bericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Bd. 3, Berlin 1894. Dedekind und Weber, Theorie der algebraischen Funktionen einer' Veränderlichen, Grelles Journal Bd. 92 (1882), S. 181—290 (arithmetisch); auch dargestellt in Weber, Algebra, Bd. III, 2. Aufl., Braunschweig 1908, S. 623 ff. Klein-Fricke. Theorie der elliptischen Modulfunktionen (1890—92), Bd.I, Abschn. III, Kap. 1, 2. und Bd. II, Abschn. VI, Kap. 1. Klein, Riemannsche Flächen I, II, autographierte Vorlesungen, Göttingen 1892/93. Appell et Goureat, Theorie des fonctions algebriques. Paris 1895. Baker, Abels theorem and the allied theory incl. the theory of the Thetafunctions, Cambridge 1897. Fields, Theory of the algebraic fuuctions of a complex variable, Berlin 1906. Stahl, Abriß einer Theorie der algebraischen Funktionen einer Veränderliehen in neuer Fassung (nachge- lassene Schrift, herausgegeben von Löffler und Xoether), Leipzig 1911.