Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    vorbereitet erscheinen durcli wichtige, wenn auch speziellere Unter- suchungen namentlich von Riemann, Schwarz, Fuchs, Dedekind, Klein und Schottky. Der Beweis für die Möglichkeit der Uniformisierung ist auf Grund der Idee der Überlagerungsfläche vollständig erst in neuester Zeit (1907) von P. Koebe und H. Poincare geliefert worden.^) Klein, Poincare und Koebe ist es vor allem zu verdanken, wenn heute die Theorie der Uniformisierung, welche innerhalb der komplexen Funk- tionentheorie eine zentrale Stellung beanspruchen darf, als ein mathe- matisches Gebäude von besonderer Harmonie und Großzügigkeit vor uns steht.^) — Der Grundgedanke des im folgenden geführten Beweises, aus dem DiricJdetschen Prinzip die Existenz der uniformisierenden Variablen zu erschließen, rührt von Hilbert her.^j Die Uniformisierende t, welche wir suchen, soll so beschaffen sein, daß sie sich an jeder Stelle der gegebenen Fläche % als Ortsuniformi- sierende eignet. Sie wird daher eine eindeutige, von Polen 1. Ordnung abgesehen, regulär-analytische Funktion auf der universellen Über- lagerungsfläche % sein müssen. Suchen wir dasjenige t, welchem die stärkste uniformisierende Kraft zukommt, so werden wir t derart zu be- stimmen suchen, daß es an zwei verschiedenen Stellen der Fläche % nie- mals denselben Wert annimmt, also % umkehrbar eindeutig und konform auf ein Gebiet der ^-Kugel abbildet. Dann werden nicht nur die Funk- tionen auf der Grundfläche '^ sich als eindeutige Funktionen von t dar- stellen lassen, sondern die viel umfassendere Gesamtheit derjenigen (auf '% im allgemeinen unendlich vieldeutigen) Funktionen, welche aus einem Funktionselement auf ^ entstehen, das sich ohne Verzweigung und im- begrenzt auf allen Wegen in % fortsetzen läßt. Und da % (im Gegensatz zu %) einfach zusammenhängend ist, widerstreitet die Möglichkeit einer solchen Abbildung nicht den Analysis-situs-Eigenschaften von %. Die in den vorigen Paragraphen zugrunde gelegte Voraussetzung, daß ^ ge- schlossen ist, können wir jetzt gern fallen lassen, da sie für die Uniformi- sierungstheorie in keinerlei Hinsicht eine Vereinfachung mit sich bringt. 1) Poincare, Acta Mathematica Bd. 31 (1908), S. 1—63; Koebe, Nachrichten der K. Ges. d. Wissensch. zu Göttingen 1907, S. 191—210 und S. 638—669. 2) Vgl. die Zusammenstellung der neueren Literatur bei Koebe, Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven, I [Math. Ann. Bd. 67, 1909, S. 146 bis 149], II [Math. Ann. Bd. 69, 1910, S. 2—3] und lü [Math. Ann. Bd. 72, 1912, S. 438—439]; ferner Koebe, Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven I [Grelles Journal Bd. 138, 1910, S. 195] und 11 [Grelles Journal Bd. 139, 1911, S. 251 ff.]. Zu einer allgemeinen Orientierung über die Resultate und Pro- bleme dieses Teiles der Funktionentheorie dient vorzüglich das Referat über die Karlsruher Verhandlungen (1911) im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker- Vereinigung Bd. 21, 1912, S. 153—166. 3) Zur Theorie der konformen Abbildung, Göttinger Nachrichten, 1909, S. 314 bis 323.