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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
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!['A' Fig. 24. po ist F> Fq, in Qjjq, hingegen F< F^. Diese Figur denke ich mir auf die Fläche ^, die in bestimmter Weise trianguliert sei, übertragen^); dann kann ich p^ p, durch einen Streckenzug a' verbinden, in dessen sämtlichen Punkten V'^ V^ ist, ebenso q^ qg durch einen Strecken- zug ß', in. dessen sämtlichen Punkten F< Fq ist.^) Die beiden geschlos- senen Kurven cc -\- a, ß -\- ß' schneiden sich nur ^--~J~-n im Punkte p^, und es geht daraus, genau wie ^ 2 \ auf S. 46, hervor, daß ß -\- ß' die Fläche ^ nicht zerlegt. Kreuze ich eine zu ß' gehörige Strecke durch eine Elementarstrecke a*, so kann ich deren Endpunkte durch einen Streckenzug mit- einander verbinden, der ß -{- ß' nirgends trifft. Dieser bildet mit a* zusammen ein Polygon, das ^ unzerlegt läßt. Ein solches Polygon kann aber nicht existieren, weil § einfach zusammen- hängend ist. 2. Dadurch, daß ich von einem Punkte der Fläche ^y, in welchem r den Wert Tq besitzt, sage, er liege über dem Punkte t^ der r-Kugel, ^vird ^ zu einer Überlagerungsfläche ^^ über der r-Kugel oder der r-Ebene. Diese ist nach dem, was soeben unter 1. bewiesen wurde, unverzweigt. Über T = oo liegt der einzige Punkt 0. Ich verfolge die Linie V = V^, von T = oo ausgehend, in der t-Ebene in der Richtung von kleineren zu größeren f/-Werten und auf ^^ einen von 0 ausgehenden, stetig sich be- wegenden Punkt p, der immer über dem diese Linie in der r-Ebene be- schreibenden Punkt bleibt. Stoße ich vor der Rückkehr nach oo auf keine Grenze, so beschreibt p, da über oo nur der eine Punkt 0 liegt, eine ge- schlossene Kurve y, die die Linie F = Vq der r-Ebene einfach überdeckt. Stoße ich jedoch auf eine Grenze, so erhalte ich eine Linie y^ auf ^^, die ein gcAvisses Stück U< ü^ der Geraden V =Vq einfach überdeckt. Dann verfolge ich die Gerade V = V^ noch von größeren zu kleineren Werten von ü fortschreitend und erhalte auf ^^^ eine Linie y.,, die ein Stück U> U.^ dieser Geraden einfach überdeckt, y^ -j- y^ bilden zusammen eine durch Ö hindurchgehende ungeschlossene Kurve y ohne Ende auf ^j.^) In jedem der beiden Fälle zerlegt die Linie y die Fläche g«^, da diese einfach zu- 36=0 1) Auf g darf ich alsdann a, ß nicht mehr als „Strecken bezeichnen. 2) Natürlich kann ich voraussetzen, daß ß' mit ß außer den beiden End- punkten keine weiteren Punkte gemein hat; vgl. S. 46. 3) Eine Kurve ohne Ende hat eine Darstellung p = p(i) [0<X<1], und die zu ihr gehörigen Punkte, p bilden, trotzdem den Parameterwerten 1 = 0 und i = 1 kein Kurvenpunkt entspricht, eine abgeschlossene Menge. Weyl: Die Idee der Eiemannschen Fläche. 10](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0161.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
