Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    Die Fixpimkte der in f* vorkommenden Drehungen können sicli im Endlichen nirgends häufen. Wäre nämlich t(|t < 1) ein solcher Häu- fungspunkt und S„ (Drehwinkel = ^j [n = i,?,3,...] eine Folge primitiver Drehungen aus f*, deren Fixpuukte t„ alle ver- schieden sind und gegen r konvergieren, so gibt es a priori zAvei Mög- lichkeiten: 1. Die Ordnungen /?„ bleiben für alle n unter einer festen Grenze. Dann finden sich unter den S^ unendlichviele, denen dieselbe Ord- nung h zukommt; es seien das die Transformationen S[, S'^, S'^, • - •. '^n^lr+i i^^ ^^^ unendlich große n infinitesimal. Dieser Fall ist also aus- geschlossen. 2. Die Ordnungen h^ bleiben nicht unter einer festen Grenze. Dann kann man aus den S^^ eine solche Folge S'^^ auswählen, daß die zu- gehörigen Ordnungszahlen gegen oo und die Drehwinkel mithin gegen 0 konvergieren; das widerspricht gleichfalls dem Fehlen infinitesimaler Operationen in f*. Nachdem dies festgestellt ist, können wir nun auch zeigen, daß ein System hinsichtlich f* äquivalenter Punkte im Endlichen keine Häufungs- stelle besitzen kann. Wäre nämlich ^o(^o < 1) GJ^renze einer Folge äqui- valenter Punkte #„(« = 1, 2, 3, ...): lim t^^ = Iq , n = 00 so bedeute ;S^„ diejenige zu f* gehörige Bewegung, welche t^ in t^_^_^ über- führt. Um t^ grenze ich eine Umgebung U^ ab, die, außer etwa in t^, keinen Fixpunkt einer zu f* gehörigen Drehung enthält. Nach dem Hilfssatz kann nur für endlichviele Indizes n der Fixpunkt r[^ von ^nil'^nl = ^) außerhalb Uq liegen; von einem gewissen n ab muß folg- lich T^j = t^ sein, und es enthält keine Einschränkung, anzunehmen, daß dies bereits von n = 1 ab gilt. Alle t^ gehen dann aus f^ durch solche Drehungen um t^ hervor, die in der Gruppe f* enthalten sind; durch solche Drehungen kann ich aber t^ nur in endlichviele verschiedene Lagen bringen. Die Möglichkeit einer Verdichtungsstelle ist somit wider- legt, und der Beweis des am Anfang (S. 159) ausgesprochenen Satzes ist erbracht. Nachdem wir dies vorausgeschickt haben, kommen wir nun zum eigentlichen Gegenstand dieses Schlußparagraphen unserer Darstellung. Es handelt sich um die Frage nach denjenigen umkehrbar eindeutigen kon- formen Abbildungen, die eine Riemannsche Fläche ^ in sich selbst erleiden kann. Diese Abbildungen bilden eine Gruppe, welche ofi'enbar für die Theorie der Riemannschen Fläche % eine analoge Bedeutung besitzt w^ie etwa die Gruppe der Bewegungen für die metrische Geometrie, und wir