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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
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![verbinden), zerfällt der unendlich-dimensionale Raum der Funktionsele- mente in unendlich viele (zweidimensionale) „Schicliten; jede solche- Schicht für sich ist ein stetig (d. h. hier: analytisch) zusammenhängendes Ganze, aber die einzelnen Schichten stehen untereinander an keiner Stelle in Verbindung; diese „Schichten sind eben die analytischen Gebilde. Im Euklidischen Punktraum bezeichnet man als „Gebiet eine Punkt- menge von der Beschaffenheit, daß 1, zu jedem Punkt der Menge eine Umgebung existiert, die ganz der Menge angehört, und 2. je zwei Punkte der Menge sich durch eine stetige, aus lauter Punkten der Menge bestehende Kurve verbinden lassen. Darnach würde im Raum der Funktionselemente das analytische Gebilde als ein keiner iveiteren Ausdehnung fähiges Gehiet zu bezeichnen sein. Der Wille, die analy- tischen Gebilde auf Grund der besprochenen Analogie als ziveidimen- sionale llannigfaUigJieiten aufzufassen, führt uns sogleich mitten in die Riemann-Kleinschen Vorstellungsweisen hinein. Die gewöhnlichen, in elementaren Lehrbüchern zur Darstellung kommenden Riemannschen Flächen haben ja in der Tat gerade diese Bedeutung: jedes Funktions- element des analytischen Gebildes so durch einen einzigen Punkt der Fläche zu repräsentieren, daß analytisch zusammenhängende Reihen von Fuuktionselementen des Gebildes als stetige Kurven auf der Riemann- schen Fläche erscheinen. Bevor wir jedoch die hierdurch angeregten Gedankengänge weiter verfolgen können, müssen wir uns noch über das Verhältnis der beiden Begriffe „analytische Funktion und „analytisches Gebilde orientieren. § 3. Verhältnis der Begriffe „analytische Funktion nnd „analytisches Gebilde*' zu einander. Eine erste Bemerkung ist diese: Ist es gelungen, in der in § 1 ge- schilderten Weise ein reguläres Funktionselement regulär längs einer gegebenen Kurve ^ = ^(A) [0 ^ A ^ 1] fortzusetzen [wodurch jedem Wert A ein reguläres Funktionselement e(A) zugewiesen ist, in welchem die Entwicklung von z nach Potenzen des Darstellungsparameters t mit dem konstanten Glied z(l) beginnt], so hat man dadurch eine im Sinne von § 2 analytisch zusammenhängende Reihe von Funktionselementen erhalten. In Wahrheit: ist A(, irgend ein A-Wert, U^ eine beliebige ana- lytische Umgebung von e(Aj)) = t^, so kann man wegen der Regularität von Co die Variable z' = z — ^(A^) als Darstellungsparameter von e^ wählen, und es gibt dann eine etwa durch \z' < r^ definierte ^'-Um- gebung von Co, die ganz in U^ enthalten ist. Grenzt man um z{Iq) durch die Ungleichung A —Ao^£(£>0) einen Bogen ab, für den durch- weg z(X) — zUq) < Vq ist, so enstehen die den Punkten dieses Bogens entsprechenden e(A) durch Umordnen nach Potenzen von z — z(l) aus Cq, gehören demnach der durch z' < r^ bestimmten ^j'-Umgebung von](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0028.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
