Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    Fortsetzung'!), gewinnt man die ^ mögliclien Fortsetzungen von t(2.^ längs der vorgeschriebenen Kurve über A = A^ hinaus bis A = Aj. Daß sich jede dieser Fortsetzungen als analytisch zusammenhängende Reihe bis zu Ende (A = 1) durchführen läßt, vv^ird nicht behauptet und ist auch im allgemeinen nicht richtig. Der Umstand, daß in einer jeden analytisch zusammenhängenden Reihe von Funktionselementen nur endlichviele irreguläre vorkommen^, ermöglicht es, diese irregulären Elemente zu umgehen. Zwei Funktions- elemente also, die sich überhaupt durch eine analytisch zusammenhängende Reihe verbinden lassen, lassen sich auch durch eine solche verbinden, die (abgesehen vielleicht von Anfangs- und Endelement) ausschließlich aus regulären Elementen besteht. Zum Beweise nehmen wir der Einfachheit halber an, daß die analytisch zusammenhängende Reihe e(A) nur ein irre- guläres Element e(Ao)[0 < A^ < 1] enthalte. ^ = P(t), u=Q(t) sei eine für \t\<ir gültige Darstellung desselben; dabei sei r so klein gewählt, daß die Elemente der durch | ^ | < ^ bestimmten ^-Umgebung Uq von e(Ao), abgesehen von e(A(,) selbst, alle regulär sind. Man kann, zwei Werte Aj<A(, und Aj > A^ so annehmen, daß alle e(^)[^i^^^^j] zu Uq gehören. e(Aj entsteht aus der zugrunde gelegten Darstellung von ^{Xq) durch Umordnen derselben nach Potenzen von t — t^ (wo t^ ein gewisser, dem Kreise f <r angehÖriger Punkt ist), e(A2) durch Um- ordnen nach Potenzen von t— t^. Die beiden Punkte t^, fg in der ^-Ebene kann man durch eine Kurve innerhalb des Kreises \t' <^r verbinden, die nicht durch den Nullpunkt geht. Indem man jedem Punkt t^ dieser Kurve dasjenige Funktionselement zuordnet, das man durch Umordnen, von JP(f), Q(t) nach Potenzen von t — t^ erhält, gelingt es, e(Aj) mit- e(A2) durch eine aus lauter regulären Funktionselementen bestehende analytisch zusammenhängende Reihe zu verbinden. Aus den bewiesenen Tatsachen ergibt sich: 1. Die sämtlichen regulären FunJctionselemente eines analytischen Ge- bildes machen eine einzige analytische Funktion aus. 2. Jede analytische Funktion hesfeht aus den sämtlichen regulären Funktionselementen eines durch die Funktion eindeutig bestimmten ana- lytischen Gebildes. Dazu tritt der weitere Satz: 3. Die irregulären Funktionselemente eines analytischen Gebildes sind' nur in abzählbarer Menge vorhanden. Den Beweis führen wir mit Hilfe des von Poincare und Volterra^) 1) Poincare, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, Bd. 2 (1888), S. 197—200. Volterra, Atti della Reale Aeademia dei Lincei, Ser. 4, IV^, S. 855.