Licence: Public Domain Mark
Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
Provider: This material has been provided by the Gerstein Science Information Centre at the University of Toronto, through the Medical Heritage Library. The original may be consulted at the Gerstein Science Information Centre, University of Toronto.
31/196 (page 15)
![ausgesprochenen Theorems, daß es in einem analytischen Gebilde höch- sfens abzahlbar unendlichviele reguläre FunMionselemente u = ^ (^ — a) mit vorgeschriebenem MittelpunJct 2 = a gibt. Denn alle diese Elemente lassen sich aus einem, '^i, von ihnen dadurch erzeugen, daß Sß^ längs Kurven in der ^-Ebene, die von a ausgehen und dorthin zurückkehren^ in regulärer Weise fortgesetzt wird. Zu jeder solchen Kurve kann man aber einen aus endlichvielen geradlinigen Strecken bestehenden Strecken- zug konstruieren, der in solcher Nähe der Kurve verläuft, daß die regu- läre analytische Fortsetzung längs des Streckenzuges gleichfalls möglich ist und zu demselben Endelement führt wie die Fortsetzung längs der Kurve. Dabei kann man noch dafür Sorge tragen, daß die Ecken dieses Streckenzuges relativ zu a rationale Koordinaten besitzen; diese relativen Koordinaten z — a seien: * wo immer n'j, n, n^ ganze Zahlen ohne gemeinsamen Teiler sind und n^ > 0 [/■ = 1, 2, ,., /(]. Wir ordnen diesem Streckenzuge die Zahl h h h 2 n'f' ^ ^ n'f ' + 2n^ = N /=i /=i /=i zu. Unter den von a ausgehenden und nach a zurückkehrenden Strecken- zügen, deren Ecken sich von a um rationale komplexe Zahlen unter- scheiden, gibt es gewiß nur endlichviele, denen dieselbe Zahl iV zu- kommt. Wähle ich N sukzessive = 3, 4, 5,..., so bringe ich dadurch alle diese Streckenzüge in eine abgezählte Reihe. Jeder dieser Streckenzüge bestimmt entweder ein oder Tiein Funktionselement mit dem Mittelpunkt a, jenachdem die reguläre Fortsetzung von ^j längs des Streckenzuges sich bewerkstelligen läßt oder nicht. Man erhält auf diesem Wege aber auch sicher alle dem analytischen Gebilde angehörigen regiilären Elemente mit dem Mittelpunkte a, deren Abzählbarkeit damit erwiesen ist. Statt der ^^-Ebene kann ich mich der aus ihr durch stereographische Projektion hervorgehenden ^-Kugel bedienen, auf der auch ^ = 00 durch einen einzigen Punkt repräsentiert wird. Ist z = a -^ tf', u = Q{t)] bezw. z = t'f, u = Q(t) ein irreguläres Element eines gegebenen analytischen Gebildes in seiner Normaldarstellung, die für |^| <y gültig sein möge, so gibt es zu jedem Wert Zq (=t= a bzw. oo), welcher der Bedingung (7) ,^^ —a|<r^' bezw. i^;|> r-^ genügt, genau (i reguläre Funktionsdemente u = '^(z — Zq) mit dem Mittelpunkt Zq, die der durch ! ^ | < r bestimmten ^-Umgebung des irre- gulären Elementes angehören. Wir sagen kurz: das irreguläre Element](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0031.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
