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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
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![Bedeuten ^1, f^j zwei zweidimensionale Mannigfaltigkeiten und (5^ eine Punktmenge auf ^i, ist femer jedem Punkt p^^'> von @j ein Punkt p^^^ von |5j zugeordnet, so ist dadurch eine Al)l)ilduiig YOii 6^ in ^^ gegeben. Die Menge der Bildpunkte auf ^^ ^^^^ ^^^ Bildmeiige von (S^ bezeichnet. Diese Abbildung heißt stetig, wenn folgendes zutrifft: Ist p^^) irgend ein Punkt von S^, p{;^ sein Bildpunkt auf ^^, U'^ irgend eine Umgebung von -p^^) auf f^2, so gibt es immer eine Umgebung U^^^ von p(,^' auf ^^j, derart daß der Bildpunkt eines jeden gleichzeitig zu ©^ und IV^^ gehörigen Punktes ein Punkt von U^-^ ist. — Das stetige Abbild einer abgeschlossenen Menge ist wieder abgeschlossen. — Ist p^^^(/l.)[0 ^ A ^ 1] eine stetige Kurve auf ^^, deren sämtliche Punkte der stetig in einer zweiten Mannigfaltigkeit ^2 abgebildeten Menge @^ angehören, so kann man auf |<^o dadurch eine stetige Kurve definieren, daß man jedem Wert des Parameters A denjenigen Punkt p^-) auf ^^ zuordnet, der bei der gegebenen Abbildung von ©^ aus dem Punkte p^^^(A) hervorgeht. Diese Kurve heißt das Bild der gegebenen. — Ist eine abgeschlossene Menge 6^ (auf ^j) umkehrbar eindeutig und stetig auf eine Teilmenge @2 ^on ^^3 abgebildet, so ist auch die inverse Äb- hildung (welche dadurch zustande kommt, daß man jedem Punkt p^^^ von ©2 denjenigen einzigen Punkt p^^^ von @^ zuordnet, dessen Bild p^^^ ist) eine stetige Abbildung. Neben den Begriff der stetigen Abbildung im gewöhnlichen Sinne^ der hauptsächlich für abgeschlossene Mengen in Betracht kommt, tritt ein Stetigkeitsbegriff, der in analoger Weise auf die nur aus inneren Punkten bestehenden Gebiete zugeschnitten ist und für den es bisher an einem Namen mangelt; ich schlage die Bezeichnung „gebiets-stetig vor. Die Abbildung einer nur aus inneren Punkten bestehenden Menge ©^ auf fVi heißt gebietsstetig, wenn das Abbild S5[f^ einer jeden ganz in @i gelegenen Umgebung Uj,^^ eines beliebigen zu @^ gehörigen Punktes p^^^ stets den Bildpunkt p|,^) von p[,^) im Innern enthält. Eine umkehrbar eindeutige und umkehrbar gebietsstetige Abbildung ist auch im gewöhnlichen Sinne stetig. Ein fundamentaler, von L. E. J. Brouwer bevdesener Satz*) besagt, daß hiervon auch die Umkehrung zutrifft; eine jede umkehrbar eindeutige stetige Abbildung einer nur aus inneren Punkten bestehenden Menge ist samt ihrer inversen gebietsstetig. Durch diesen Satz wird der Begriff der Gebietsstetigkeit wieder überflüssig gemacht. Da wir aber im folgenden nirgends Veranlassung haben, vondiesemschwierigzubeweisendenTheorem Gebrauch zu machen, möchte ich hier gleichwohl das Wort „gebietsstetig l)MathematischeAnnalenBd.70(1911),S. 161—165; Bd.71(1912), S.305—313; Bd. 72 (1912), S. 55—56. Brouwers Untersuchungen beziehen sich auf w-dimen- sionale Gebiete. Den zweidimensionalen Fall, der für uns allein in Betracht kommt, haben bereits früher unter Ziihülfenahme des sog. „Jordanschen Kurven- satzes Schoenflies (Göttinger Nachrichten 1899, S. 282—290), Osgood (ebendort 1900, S. 94—97) und F. Bernstein (ebendort 1900, S. 98—102) erledigt. 2*](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0035.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
