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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
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![p gehört einem nicht in dem Zykel A,- (i = 0,1, • ',Ji) auftretenden Dreieck A an: dann ist die 31annigfaUigleit in Elementardreiecke A zerlegt. Wir ziehen in Zukunft nur solche zweidimensionale Mannigfaltig- keiten in Betracht, die sich in Elementardreiecke zerlegen lassen; für solche Mannigfaltigkeiten will ich die kürzere Bezeichnung Fläche ge- brauchen. Es wird alsbald hervortreten, welche große Bedeutung der Möglichkeit der Triangulation für die Analysis situs auf einer Fläche zukommt. Hat man eine Fläche ^ in Elementardreiecke A zerlegt, so wird man eine geordnete Folge von endlich vielen (untereinander verschiedenen) dieser Dreiecke A: Ai, A2,--,A„ als eine (einfache) Kette von Dreiecken bezeichnen, falls immer Ay mit Aj_^i eine Kante gemein hat; die Kette „verbindet A^ mit A„. (Hat auch wieder A„ mit A^ eine Kante k gemein, so ist die Kette über die Kante k hinüber geschlossen?) Der Umstand, daß sich je zwei Punkte von % durch eine stetige Kurve auf ^1^ verbinden lassen, hat zur Folge, daß je zwei Elementardreiecke A durch eine einfache Kette von Dreiecken A miteinander verbunden werden können. Zunächst nämlich kann es nur endlichviele Dreiecke A geben, die Punkte mit einer stetigen Kurve 4) = p(A) [0 ^ A ^ 1] gemein haben. Gäbe es unendlichviele, so bekäme man eine unendliche Reihe von Kurvenpunkten p (A^) [ / = 1,2, • • •], von denen keine zwei dem gleichen Dreieck angehören; ist dann X^ ein Ver- dichtungswert der Ij, so müßten in jeder Umgebung von i^il^ Punkte unendlich vieler Dreiecke angetroffen werden: nach den an jede Triangu- lation zu stellenden Forderungen 1) — 3) ist das unmöglich. Um jetzt zwei gegebene Dreiecke A, Ag und A°, durch eine Kette zu verbinden, verfahre ich so: Ich wähle irgend einen Punkt im Innern von A^ und einen Punkt im Innern von A und verbinde beide auf ^ durch eine stetige Kurve p = p(A) [0 ^ >l ^ 1]. Ich achte darauf, wann diese Kurve zum letzten Mal das Dreieck Aq verläßt — ich drücke mich so aus, als ob X die Zeit bedeute —, d. h. ich suche den größten Wert X = Aq, für den p(A) zu Aq gehört. Der Punkt P(Aq) wird auf einer Kante k von A^ liegen. Ist er kein Eckpunkt (erster Fall), so tritt die Kurve jetzt in dasjenige Dreieck über, das längs k an Aq angrenzt: dieses A^ wird das nächste Glied in der zu konstruierenden Kette sein. Ist hingegen p(Ao) ein Eck- punkt, so bilde ich den ganzen Dreieckstem um den Eckpunkt P(Aq) herum, den ich als eine einzige geschlossene Kette A^ A^ • • A^ auffassen kann. Kommt A° unter seinen Dreiecken vor, so bin ich bereits fertig; sonst achte ich darauf, wann die Kurve zum letzten Mal den Stern ver- läßt. Der Punkt p^, durch den das geschieht, ist sicherlich kein Punkt](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0039.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
