Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
Catalogue details

Licence: Public Domain Mark

Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

Provider: This material has been provided by the Gerstein Science Information Centre at the University of Toronto, through the Medical Heritage Library. The original may be consulted at the Gerstein Science Information Centre, University of Toronto.

    53/196 (page 37)
    Yerwirklichungen einer und derselben idealen Riemannschen Fläche zu betrachten sein. Als innere Eigenschaften einer Riemannschen Fläche werden stets nur solche gelten können, die gegenüber konformer Abbil- dung invariant sind, welche also, wenn sie einer Riemannschen Fläche ^ zukommen, auch jeder mit dieser äquivalenten Riemannschen Fläche anhaften. Alle Analysis-situs-Qualitäten gehören selbstverständlich zu diesen inneren Eigenschaften einer Riemannschen Fläche. Jedes Teilgebiet einer Riemannschen Fläche ist selbst eine Riemann- sche Fläche. Jede Ortsuniformisierende zu einem Punkt p bildet eine ge- wisse Umgebung von p konform auf ein ebenes Gebiet ab. Dabei ist die Ebene gleichfalls als Riemannsche Fläche aufzufassen und zwar so, wie es dem elementaren Begriif der analytischen Funktion in der komplexen Gaußschen Zahlenebene entspricht. Wir haben oben erörtert, in welchem Sinne ein analytisches Gebilde als Riemannsche Fläche angesehen werden kann. Aber die Begriffe „ana- lytisches Gebilde und „Riemannsche Fläche fallen nicht zusammen. Durch ein analytisches Gebilde [s, u) ist uns nicht bloß eine Riemann- sche Fläche gegeben, sondern gleichzeitig zwei bis auf Pole reguläre Funktionen z und u auf ihr. 0 und ii genügen dabei folgender Bedingung: Es gibt keine zwei verschiedene Punkte p?, pg auf der Riemannschen Fläche, zugehörige Ortsuniformisierende ^j, bzw. t^ und zwei nach ganzen Potenzen von t fortschreitende Reihen P(t), Q (t) von der Art, daß 2 = Pißi), u = Q(t{) in der Umgebung von p?, z = ^(^2)7 ^ ^ Qih) ^ dßr Umgebung von p2 ist. Zu einer beliebigen RiemannschenFläche bekommt man immer dadurch, daß man auf ihr irgend zwei bis auf Pole reguläre Funktionen z, 11 aus- zeichnet, welche der eben formulierten Bedingung genügen, ein ana- lytisches Gebilde. Wenn es aber überhaupt ein solches Funktionenpaar 2, u gibt, so läßt es sich auch immer auf unendlichviele verschiedene Arten wählen; z. B. kann ich statt z, u irgend zwei lineare Kombinationen von z, u benutzen: z' = az -{- hu, u = Az + Bu [a, h; A, B konstant; aB —hA=^0]. Daß zu jeder vorgegebenen Riemannschen Fläche ivirklich ein FimJc- tionenpaar (z, u), d. h. ein analytisches Gebilde gehört, ist eine Grundtat- sache der Riemannschen Funktionentheorie, deren Beweis für geschlossene Riemannsche Flächen in Kap. II dieser Schrift mit Hilfe des von Riemann zu dem gleichen Zweck verwendeten Thomson-Dirichletschen Prinzips erbracht werden wird.