Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    Z. B. ist das Innere Ä eines Kreises der Euklidischen Zahlenebene eine einfach zusammenhängende Fläche. Wir betrachten, um das nach- zuweisen, eine beliebige unverzweigte unbegrenzte Überlagerungsfläche Ä über ^, ö sei ein Punkt auf ^, der über dem Mittelpunkt o von ß liegt. Indem wir zu jeder von ü ausgehenden geradlinigen Strecke Op in ^ die- jenige in ö beginnende (und etwa in p endigende) Kurve auf ^ aufsuchen, von der jene Strecke die Spur ist, erhalten wir zu jedem Punkte p von ^ einen bestimmten darüber gelegenen Punkt p von ^. Können wir zeigen, daß diese Zuordnung p —> p umkehrbar gebietsstetig ist, so ist damit der einfache Zusammenhang von Ä erwiesen; denn dann müssen alle von ö ausgehenden Kurven auf Ä, deren Spurlinien von 0 nach p laufen, in demselben Punkte p münden, und Ä ist einblättrig. Um aber jenen Nachweis zu erbringen, verfahren wir so: Der Punkt q beschreibe auf ^, von ö ausgehend und in p endigend, diejenige Kurve, von der die geradlinige Strecke (? = Op die Spur in ^ ist, und q sei in jedem Moment der Spurpunkt von q. Jedem Punkt q == q,, können wir einen Kreis ]cc\q mit dem Mittelpunkt qQ so zuordnen, daß ein q,, ent- haltendes Gebiet @ auf Ä existiert, welches vermöge der Zuordnung »PunM auf ^ —>- Spurpunht in ^« umkehrbar-eindeutig und -gebiets- stetig auf kq^ abgebildet wird. Solange q sich auf demjenigen Kurven- bogen bewegt, dessen Spur die durch ]cC\q aus 6 ausgeschnittene Strecke 6(\q ist, liegt q in diesem Gebiet @. Wir können nach dem sog. Heine- Borelschen Theorem, das den Grundlagen der Infinitesimal-Analysis an- gehört^), endlich viele Punkte der Strecke 6 (vgl. Fig. 12) qo = 0. Qu qj,--, ^n-n q» = P (in dieser Reihenfolge) so auswählen, daß die zugehörigen Intervalle (7 0, öq^, tfq,,..., «?p die ganze Strecke Op derart bedecken, daß immer q^ + j im In- nern des Kreises Z;q^ [h = 0,l,.., «-!] gelegen ist. Es sei jetzt (j' = Op' eine geradlinige Strecke von 0 aus, deren End- punkt p' in Jcp liegt rig. 12. Einfacher Zusammenhang der Kreisfläche. und die im ÜbriffCn in solcher Nähe von op verläuft, daß sie einen Punkt q[ enthält, 4er gleichzeitig im Innern von Jco und Jcq^ liegt, einen Punkt q'^, der 1) Vgl. etwa Lebesgue, Le9on8 sur l'integration, Paris 1904, S. 104—105.