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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.
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![n = ord(O). e Diese Zahl n hängt, außer von dem Punkte 0 und der in bestimmter Weise durchlaufenen Kurve ®, noch von dem Drehungssinn i\ in 0 ab; ersetzen wir diesen durch den entgegengesetzten, so wechselt n sein Vor- zeichen. Die Möglichkeit, auf einer beliebigen Fläche einen Drehungssinn festzulegen, beruht auf dem folgenden fundamentalen Satz: Ist ein Gebiet @ der EuldidiscJien Ebene auf ein ebensolches Gebiet ®' umleJirbar eindeutig und umkehrbar gebietsstetig abgebildet, wobei dem Funkte 0 von @ der PiinJct 0' entsprechen möge- ist ferner in 0 ein bestimmter Drehungssinn \ gegeben, so kann man in 0' einen Drehungs- sinn -\' so festlegen, daß die Ordnung des Punktes 0 in Bezug auf jede nicht durch 0 gehende, in &> verlaufende geschlossene Kurve mit der Ord- nung von 0' in Bezug auf die Bildkurve übereinstimmt. Zum Beweise benutzen wir einen festen Kreis f in ® mit dem Mittel- punkt 0 {x, y bedeuten Cartesische Koordinaten): x = acos2iil, y=-asm27cl [O^A^l]; in Bezug auf ! besitzt 0 die Ordnung 1. Wir entscheiden uns in 0'^ zunächst willkürlich für einen der beiden möglichen Drehsinne, und nennen dann n^ die Ordnung von 0' in Bezug auf die Bildkurve f von f. Der Beweis zerfällt in zwei Teile: 1. Ist S eine beliebige geschlossene Kurve in %, die nicht durch 0 geht, n = ord (0), so ist ord (0') = w • Wq- 2. Wo ist = -f 1 oder — 1. Beiveis von 1.: x^x{l), y = y{l) [O^A^l] sei die Kurve S; wir teilen sie so in Teilbögen ein daß auf jedem dieser Teilbögen die Wertschwankungen des Azimuts cp kleiner als - bleiben. Pq, P^, ..., P^_i seien die den Werten 0, A^, ,.., ^r-\ entsprechenden Kurvenpunkte. Verfolgen wir also die stetige Ände- rung des Winkels cp = (p{X), den OB mit einer festen durch 0 gehenden Halbgeraden einschließt, während P den h^^^ Bogen (E^^: A^_^ ^ A ^ 2^ durch- läuft, so kommen niemals zwei qo-Werte vor, deren Unterschied absolut ^— wäre. S^ ordnen wir den durch die Halbgeraden OBj^_^, OP,^ aus ! ausgeschnittenen Kreisbogen f^: Qf,_iQh zu und bringen ihn mit Hilfe](https://iiif.wellcomecollection.org/image/b20996469_0073.jp2/full/800%2C/0/default.jpg)
