Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    bildungen T', T erzeugten Bilder eines bestimmten Drehsinnes ^ in Po anzusehen, der dadurch in einer von der Wahl der Ortsuniformi- sierenden unabhängigen Weise festgelegt ist. Da der so zu jedem Punkte Po der Riemannschen Fläche bestimmte Drehsinn -\ auch überall stetig ist — daran ist dann nichts mehr zu beweisen —, steht die Zweiseitigkeit der Riemannschen Flächen fest. Ich schlage um t' = 0 in @' einen kleinen Kreis !': t' = ae''f (0^9^2jr) [a > 0 ist der konstante Radius]. Das durch T'-^T in ® entworfene Bild von V heiße !. Gemäß der Definition des BegriJÖfes „Ordnung ist 2n:iord. (r' = 0)= f^^ t J t t Es gilt aber f*; = (j, + a^^aj'+aj''^-- •)dt', wobei die Potenzreihe in einem Kreise der T-Ebene, der f im Innern enthält, konvergiert. Also folgt rdt rat' ^ . und damit ist erwiesen, daß ord. {t =— 0) = + 1 und nicht = — 1 ist, f oder daß ä' durch die Abbildung T'~^T in -\ übergeht. Ist die Riemannsche Fläche j^ irgendwie trianguliert, so induziert der eben festgelegte „positive Drehsinn a in jedem Dreieck eine „posi- tive Indikatrix. Ist dz ein in allen Punkten eines Elementardreiecks der triangulierten Fläche einschließlich des Randes reguläres Differential, so ist das um den Rand des Dreiecks mit positiver Indikatrix erstreckte Integral von dz gleich Null. Ist dz in dem ganzen Dreieck einschließlich des Randes regulär, abgesehen von einem im Innern gelegenen Pol, so ist dieses Integral hingegen ^2 jt i mal dem Residuum von dz in jenem Pole. Ist dz auf einer geschlossenen Riemannschen Fläche bis auf Pole regulär, so kann man ^ derart in Elementardreiecke zerlegen, daß die Pole ins Innere der Dreiecke und niemals zwei oder mehr Pole ins Innere desselben Dreiecks fallen (S. 64). Integriert man Trf^; um alle Dreiecke mit posi- tiver Indikatrix und addiert, so bekommt man 2;r/ mal der Summe aller Residuen von dz. Umläuft man aber alle Dreiecksumfänge mit positiver Indikatrix, so wird wegen der Kohärenz dabei jede Kante zweimal, aber im entgegengesetzten Sinne durchlaufen. Infolgedessen muß jene Inte- gralsumme anderseits = 0 sein, und wir gewinnen den Satz: Die Summe der Residuen eines auf einer geschlossenen Riemannschen Fläche bis auf Pole regidären Differentials ist 0. 5*