Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    saninienhangsgrad''^) der Fläche ^, deren Integralfunktionen wir be- trachten. Gibt es keine endliche Basis für die Integralfunktionen, so be- sitzt f5 einen unendlich hohen Zusammenhangsgrad. Wir fassen insbesondere ein Polyeder ^ ins Auge und gehen darauf aus, seinen Zusammenhangsgrad h durch die Anzahl d der Dreiecke von ^, die Anzahlen e, k seiner inneren Ecken und Kanten auszudrücken. In jedem der endlich vielen Dreiecke A, aus denen Sß zusammengesetzt ist, tragen wir den Schwerpunkt (1:1:1) ein. Sind (wie in der folgenden Über- legung stets) Aj, A2 irgend zwei dieser Dreiecke, die längs einer inneren Kante von ^ aneinanderstoßen, §j, §2 i^^^ Schwerpunkte, so hat für jede innerhalb Aj -f Ag verlaufende, von §j nach §3 führende Kurve y die Integralfunktion F('y) denselben Wert, den wir mit Xa.^^^ [F] bezeich- nen wollen. Dies liegt daran, daß nicht nur ein einzelnes Dreieck, sondern auch das Dreieckspaar A^ -f Ag einfach zusammenhängend ist. Es ist immer x^^^^ = — x&^^i' ^^^ ^ ^^^ innerhalb ^ gelegener Eckpunkt, Aj, Ag, . . . , A^ die sich um e gruppierenden Dreiecke in zyklischer An- ordnung, so muß (e) a:AiA2 + ^^^2^3 + • • • + Xa^^i = 0 sein, weil auch jeder Dreiecksstern einfach zusammenhängend ist. (Die linke Seite dieser Gleichung ändert ihr Vorzeichen, wenn wir die zyk- lische Anordnung der Dreiecke A^, d. i. die Indikatrix im Dreiecksstern umkehren.) Geben wir das System der Zahlen Xs^ ^^ irgendwie den aus- gesprochenen Bedingungen gemäß vor, so erkennt man ohne Mühe, daß es immer eine Integralfunktion gibt, der diese x^^ Ag in der angegebenen Weise zugehören ^). Eine Integralfunktion F ist dann und nur dann 1) Diese Zahl entspricht der „Zusammenhangszahl Riemanns, ist aber für geschlossene Flächen um 1 niedriger als diese. Vgl. Schläfli, Grelles Journal Bd. 76, S. 152, Fußnote, und Klein, Math. Ann., Bd. 7, S. 550, Fußnote. 2) Z. B. folgendermaßen: In einem einzelnen Dreiecksstern kann ich den Dreiecken A^,. . ., Ar(Ar +1 = AJ Zahlen g^, ■. ■ ■, gr igr + 1= g^) so zuordnen, daß ^Ai i^i= gi — gi-, «A2 As = ^s — i/2 1 • • • ' ^Ar Al = fi'i — 9r ist. Ich definiere im Innern dieses Sterns eine Punktfunktion f, die im Innern des Dreiecks Ai: = gi ist, auf der Kante, die A/ von Aj + 1 trennt, von den End- punkten abgesehen, den konstanten Wert \ {gi-\-gi + i\ besitzt, im gemein- samen Eckpunkt der Dreiecke Ai dem arithmetischen Mittel der r Zahlen gi gleich wird. Für eine innerhalb dieses Sternes verlaufende Kurve y = (pj pj) de- finiere ich F{y) = /'(pj) — /'(pi). In der Wahl der gi steckt insofern eine Willkür, als ich sie alle um dieselbe Zahl vermehren kann; das ist aber auf F{y) ohne Einfluß. Liegt y im Innern zweier Dreieckssterne zugleich (die dann ein Drei- eckspaar, in welchem y gelegen ist. gemein haben), so hängt der Wert von F{y) auch nicht davon ab, welchen der beiden Dreieckssterne ich in der angegebenen Weise zur Berechnung benutze. Ist y eine beliebige Kurve, so kann ich sie in endlich viele konsekutive Bögen 7,, 7,, .. . yn derart zerlegen, daß jedes yi ganz im Innern eines Dreiecksstems liegt. Ich setze dann: