Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    '-^ 0, wenn jedem Dreieck A von ^ eine Zahl ^f^ entspricht, sodaß für alle Dreieckspaare A^Ag, die eine innere Kante von ^ gemein haben, ißt. Wenn wir von je zwei entgegengesetzt gleichen Zahlen x^^^^, Xao\i immer nur eine beibehalten und der gemeinsamen Kante der Dreiecke Aj, Ag zuordnen, so haben wir Ic „Unbekannte X] zwischen ihnen be- stehen die e linearen homogenen Gleichungen (e), die den einzelnen inneren Eckpunkten e von ^ entsprechen. Sind diese Gleichungen linear unab- hängig voneinander? Angenommen, es bestünde zwischen ihren linken Seiten eine Identität mit den Koeffizienten y^. Betrachten wir eine Kante ef, deren beide Eckpunkte e, f im Innern von ^ liegen. Die beiden zu den Ecken e und f gehörigen Gleichungen mögen in solcher Form ge- schrieben sein, daß sie zwei kohärenten Indikatrizen der beiden zu e und f gehörigen Dreieckssteme entsprechen: (e): A„A„A3,..., A. (t): a; = a„z^; = a„ a;,...,a.;. Die Unbekannte X/^^ao tritt dann nur in diesen beiden Gleichungen und zwar mit entgegengesetztem Vorzeichen auf, und es muß daher ye= 2/f sein. Ist hingegen e» eine Kante, deren einer Eckpunkt e im Innern, de- ren anderer • am Rande von ^ liegt, so schließt man auf gleiche Weise ?/e = 0. Ist ^ offen, so kann man von jedem inneren Eckpunkt aus einen Kantenzug an den Rand legen e f... I • und findet ^e =2/f = --- = 2/1 = 0. Ist ^ geschlossen, aber einseitig, so kann man von e aus einen nach e zurückkehrenden Kantenzug ziehen, auf dem sich die Indikatrix um- kehrt: an diesem entlang von Eckpunkt zu Eckpunkt schließend, be- kommt man ye = — ye, also gleichfalls y^ = 0. Ist ^ geschlossen und zweiseitig, so versehe man alle Dreieckssterne auf ^ mit Indikatrizen, die unter einander kohärent sind, und schreibe jede der Gleichungen (e) dieser Indikatrix entsprechend. Dann findet man, da man jede Ecke mit jeder durch einen Kantenzug verbinden kann, daß alle y^ einander gleich sind, und es besteht dann wirklich zwischen den linken Seiten der Gleichungen (e) die Identität mit den Koeffizienten y^ = 1. Setzen wir £ = 0 für geschlossene zweiseitige Polyeder, sonst £ = 1, so haben die Gleichungen (e) also ]c — e -f 1 — £ linear unabhängige Lösungen. F{7) = F(n) + Fiy,) + . . . + F(y„). Es kommt nach dieser Erklärung immer derselbe Wert heraus, welche Eintei- lung in Teilbögen yj ich auch vornehme. Um die beiden für zwei verschiedene Teilungen sich ergebenden Werte zu vergleichen und ihre Übereinstimmung fest- zustellen, brauche ich nur beide Teilungen gleichzeitig anzubringen. F{y) ist eine Integralfunktion, wie wir sie wünschen.