Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    Ordnet man willkürlich jedem Dreieck A von ^ eine Zahl g^ zu, so erhält man durch die allgemeine Formel x^^ö... = gs^ — 9^i stets eine Lösung der in Frage stehenden Gleichungen; von den so entstehenden Lösungen werden wir sagen, daß sie ~ 0 sind. Die Zahlensysteme [g^] bilden eine lineare Schar vom Grade d. Ein solches System liefert dann und nur dann für alle g^^ — g\i die 0, wenn g^ für alle Dreiecke A den- selben Wert hat (wir benutzen dabei, daß ^ zusammenhängend ist). Die Lösungen von (e), welche •^ 0 sind, bilden also eine lineare Schar vom Grade d — 1. Der Überschuß (jc-e-\-l-€)-{d-l) = {7c-e-d+2)-£ gibt die gesuchte größte Anzahl h der linear unabhängigen Inte- gralfunktionen auf ^. Es folgt aus der durch die obigen BetracJttungen aufgedeclden Bedeutung von h, daß diese Größe für geschlossene Flächen von der Art ihrer Triangulation völlig unabhängig ist^)-, außerdem muß stets h^O sein. Daß zwischen l geschlossenen Wegen y^, y^,--, yi die Homologie^ Ci7i +C2J/2 -f ... -fc^y, ~0 mit den Zahlen c, als Koeffizienten besteht, soll besagen, daß für jede Integralfunktion F die Gleichung c,F{Vx) + ^2^(72) + •. • + c,F{y:) = 0 statthat. Hat die Fläche, welche wir betrachten, den endlichen Zusammen- hangsgrad h, so besteht zwischen l > h geschlossenen Wegen stets eine solche Homologie mit nicht lauter verschwindenden Koeffizienten. Man braucht nämlich nur die h homogenen linearen Gleichungen ^1FM + ^2^^(72) + • • • + <^-My:) = 0 [^ = 1,..., Ä] zu 1) Gewöhnlich wird die Zusammenhangszahl (nach Riemann) mit Hilfe der Zerschneidung der gegebenen Fläche in eine einfach zusammenhängende er- klärt, wobei man innerhalb der Analysis situs nicht umhin kann, als Zer- schneidungslinien beliebige stetige Kurven zuzulassen; die Beweise dafür aber, daß die so definierte Zahl durch die Fläche allein bestimmt ist, sind nicht streng und scheinen sich auch nur schwer in strenge Form bringen zu lassen. Indem wir hier eine neue Definition zu Grunde legten, welche zu den funktionentheoretischen Anwendungen (Theorie der Abelschen Integrale) in eng- ster Beziehung steht, ist dieser Übelstand vermieden worden. Man darf wohl sagen, daß unser Verfahren den eigentlichen Kern der von Weierstraß, Hensel-Lands- berg u. a. in der Theorie der algebraischen Funktionen angewendeten Methode, zunächst das Verhalten der Integrale zu untersuchen und daraus Schlüsse über die Integrationsiregre zu ziehen, in einer von allen funktionentheoretischen Zu- fälligkeiten befreiten Form vor Augen stellt. — Die für geschlossene, zwei- seitige, einfach zusammenhängende Polyeder gültige Gleichung e -\- d — k ^ 2 wird als die Eidersche Polyederformel bezeichnet. S. Euler, Petrop. Novi Comm. 4 (1752—53), S. 109. 2) Vgl. Poincare', Analysis situs, Journal de l'Ecole polytechnique, Ser. 2, Bd. 1 (1896), S. 19.