Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Hermann Weyl
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    ganze Zahlen sind^). Setzen wir die von 0 verschiedene Determinante j = l,2,..,li SO ergibt sich unsere Behauptung in Anbetracht der Gleichungen rrF,{y[)+ uF.iy,) + ... + r,F,{y\) = F,{y), [i = 1, 2, ..., A] auf deren rechten Seiten ganze Zahlen stehen. Unter allen (endlich vielen) Gitterpunkten von der Form (r„0,.-.',0) [0<r,^l] 'A~(rW,0,...,0) derjenige, für welchen r^ seinen kleinsten Wert hat; unter den endlich- vielen Gitterpunkten von der Form (r„rj, 0,.-.,0) [0^r,<.f); 0<r,^l] — deren es sicher welche gibt — femer j.,^(r(^r(^0,-.-,0) derjenige, für welchen H^> möglichst klein ist; unter allen Gitterpunkten (r„r,,r„0,•■•,()) [0 ^ r, <;f), 0^r,<rf', 0<r3^1] y,^{rf,rf,rf,Q,.--,^) derjenige, für den r^^^ am kleinsten ausfällt; usw. Die geschlossenen Kurven 7i, y^, 7z^ • • •■) yh bilden dann eine Basis, wie wir sie suchen.^) Denn ist 7 ~ (rj, r2, ..., r^) ein beliebiger zu G gehöriger Punkt, so kann man der Reihe nach die ganzen Zahlen nj^, n^_-^, ..., w^ so bestimmen, daß y - hhyn + ^h-x Tk-i + • • • + iJ'i) ~ (^1, r„ ..., ?,) 0£T.<rf^(i = h, h— 1, ••-, 1) wird. Dann aber schließt man aus der Bedeutung von y^^, 7/,_i, ..., /i sukzessive ^. = 0, ^-1 = 0, ■••,?, = 0, und das Endergebnis ist das behauptete: 7~W;iy^H l-n^y^-hn^y^- Nur eine Basis {y^], durch die sich alle geschlossenen Kurven im 1) Um den Wert F(y) einer Integralfunktion F für einen geschlossenen Weg 7 zu berechnen, kann man •/ durch einen in hinreichender Nähe von y verlau- fenden geschlossenen Streckenzug :r ersetzen (S. 49); wir nehmen ihn so an, daß er, ohne durch Ecken hindurchzugehen, die Kanten in allen Treffpunkten überkreuzt. Geht 7t an einer beliebigen solchen Kreuzungsstelle aus dem Dreieck Aj in das Drei- eck Aj hinüber, so ist F{'/) = F(7i) gleich der über alle Kreuzungsstellen zu erstreckenden Summe ^J^a-a, [F]- 2) Dieses Schlußverfahren wird von Minkowski als „Adaption eines Zahlen- gitters in bezug auf ein enthaltenes Gitter bezeichnet. Vgl. Diophantische Appro- ximationen (Leipzig 1907), S. 90—95