Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften im Altertum / von I.L. Heiberg.

Johan Ludvig Heiberg

Date:: 1925

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Credit: Geschichte der Mathematik und Naturwissenschaften im Altertum / von I.L. Heiberg. Source: Wellcome Collection.

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Aufgabe handelt, also um das, was später als öio^io/iog jedes Problem begleitet. Mit dem Stand der Stereometrie ist Platon sehr unzufrieden (Respubl. VII 528) Der Grund muß sein, daß sie noch nicht in ein festes exaktes System gebracht war; denn es lagen doch schon ehrenwerte Einzelergeb¬ nisse vor. Mit den regelmäßigen Polyedern hatten sich schon die Pytha- goreer beschäftigt, und Platon benützt sie bei seiner Konstruktion der Elemente (Tim. 54 ff.), was dazu Anlaß gab, daß sie fortan „platonische Körper“ genannt werden.1 In seinem Kreis hatte Theaitetos wenigstens Oktaeder und Eikosaeder konstruiert,2 und Eudoxos die wichtigen Sätze gefunden, daß Kegel und Pyramide J/3 sind des Zylinders und des Prismas mit gleicher Höhe und Grundfläche.3 Diese Sätze hatte er durch die so¬ genannte Exhaustionsmethode bewiesen, als deren Begründer er gelten darf. Sie beruht auf dem Satz (Euklid X 1): wenn von der größeren von zwei ungleichen Größen die Hälfte oder mehr abgezogen wird, von dem Rest ebenso, und so weiter, kann man immer zu einer Größe gelangen, die kleiner ist als die gegebene kleinere, oder in der Fassung des Archi- medes (II p. 264, 8 ff., vgl. p. 265 not. 1): durch Vervielfachung der Diffe¬ renz zweier ungleichen Größen kann man immer zu einer Größe gelangen, die größer ist als jede gegebene. Durch dieselbe Methode hatte man um diese Zeit auch den schwierigen Beweis geführt für den Satz, daß Kugeln sich verhalten wie die Kuben ihrer Durchmesser. Da Archimedes hier nur von oi jiqoteqov yecofihoat spricht (II p. 264, 16 ff.) und den Satz nicht mit aufführt, wo er die Entdeckungen des Eudoxos erwähnt (s. oben), sind wir nicht berechtigt, diesem den Beweis zuzuschreiben. Auch mit dem „goldnen Schnitt“ (Teilung einer Geraden so, daß das größere Stück die mittlere Proportionale wird zwischen der ganzen und dem kleineren Stück), der für die Konstruktion der platonischen Körper wichtig ist, hatte Platon sich beschäftigt, und Eudoxos hatte die Unter¬ suchung weitergeführt unter Anwendung der analytischen Methode (Pro- klos in Euch p. 67). Platons Interesse ist wesentlich auf die Geometrie gerichtet. Was er von den beiden großen Zahlen sagt, denen er auf gut Pythagoreisch mystische Bedeutung beimißt,4 zeigt zwar seine Beherrschung der Zahlen¬ lehre, aber wissenschaftlichen Wert hat es nicht. Es wird ihm eine Ergän¬ zung der pythagoreischen Lösung der unbestimmten Gleichung x2 A y2 = z2 (in ganzen Zahlen) zugeschrieben, die von x als einer geraden Zahl aus¬ ging (vgl. S. 4).5 Was sonst von eigenen mathematischen Leistungen Pla¬ tons verlautet, ist ziemlich zweifelhaft. Von seinem Instrument zur Auf¬ findung zweier mittleren Proportionalen war schon die Rede. Mach einer auch sonst ungenauen Notiz (Heron, Deff. 104) soll Archimedes ihm die 1 Heron, Deff. 103; Pappos V 34. E-va Sachs, Die fünf Platonischen Körper, Ber¬ lin 1917. 2 Scholl, in Euclid. V p. 654 Nr. 1. Suid. S. v. Qsaizrjrog: Jigcozog ök za jzsvzs xaXovfxsva ozegea eygaxpe. 3 Archimedes I p. 4, II p. 430. 4 Legg. V 737 e ff. die richtige Zahl der Bürger 5040= 12 x 20 x 21. Respubl.VIII 546 die Zahl, wovon glückliche Geburten abhängen, trotz unzähligen Bemühungen (Loria a. O. S. 947 ff.) noch nicht erklärt. 5 Heron, Geom. 9. Proklos in Eucl. p. 428 f.

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