Thèse d'analyse / présentée par M. Bach.

  • Bach, M.
Date:
1857
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Credit: Thèse d'analyse / présentée par M. Bach. Source: Wellcome Collection.

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    En nous reportant maintenant aux propriétés de la fonction T [intégrale en- lérienne de seconde espèce (■'“)], nous avons e~^ Y[nn)— i. 2. 3 [in — i ), = — r ( 2 n) = 1. 2. 3 (^2«- = 1-2. 3 ....(2 7^ - 1 Donc enfin B„ = 1.2.3 ]■ Telle est l’expression générale des nombres Bernoulliens développée en série convergente. Cette expression contient la transcendante tt et, en outre, la somme d’une série indéfinie, mais convergente. La valeur B„ montre clairement que si n augmente indéfiniment, B„ de- vient plus grand que tout nombre donné. Elle montre aussi que la somme I I I ^ ne contient, si ?i est entier, que la seule transcendante n, puisque nous avons trouvé une expression rationnelle de B„. Cette même forme fait connaître (ce que nous savions déjà) entre quelles limites x doit varier pour que la formule (2 ), qui donne la valeur de tang x, soit convergente. La limite du rapport de deux termes consécutifs est —^5 et ce rapport sera < i tant que x sera compris entre — ^ Ainsi, bien que B„ augmente indéfiniment, la série (2) sera toujour.s con- vereente, si x varie entre — - et -t- -• ” ’ 22 (*) (*) A la fin de ce travail je traiterai, dans un appendice, des diverses propriétés des inté grales eulériennes dont j’aurai eu à me servir.
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