Die Lehre von der Tonempfndungen als physiologische grundlage fur die Theorie der Musik.

  • Hermann von Helmholtz
Date:
1877
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Credit: Die Lehre von der Tonempfndungen als physiologische grundlage fur die Theorie der Musik. Source: Wellcome Collection.

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    Verschiebungen der kleinsteu Theile des schwingenden Mittels gegen ein- ander hervorgerufen werden, diesen Verschiebungen sclbst merklich pro- portional sind. Es lasst sich nun zeigen, dass Combi nationstone ent- stehen niiissen, sobald die Schwingungen so gross werden, dass auch noch das Quadrat der Verschiebuugen auf die Bewegun- gen Einfluss erhiilt. Es rnoge fur jetzt genugen, als einfachstes Bei- spiel die Bewegung eines einzeluen Massenpunktes unter dem Einfluss eines Wellenzuges zu betrachten, um das Resultat zu entwickeln. Nach einer ganz ahnlichen Metbode lassen sich auch die Bewegungen der Luf't und anderer elastischer Medien behandeln. Ein Punkt von der Masse m soli in Richtung der x Axe oscilliren konnen. Die Kraft, welche ihn in seine Gleichgewichtslage zuriickzufiihren strebt, sei k — a x -\~ b x2. Es mogen auf ihn zwei Schallwellenziige einwirken mit der Kraft f.sin (pt) und g sin (qt -f- c), so ist seine Bewegungsgleichung d2x — m dt2 ax -f b x2 -f fsin (p t) + g sin (q t -f- c). Diese Gleichung kann man durch eine Reihe integriren, indem man darin setzt x = eXi -f. e2x2 -f e3xs -J- etc. 9 — e^i und die mit gleichen Potenzen von e multiplicirten Glieder einzeln ffleich Null setzt, also: d2x J) a*i + m j^ = —f sin (p t) — gx sin (q t -f c), 2) ax2 -f- m -j^ = — bx*, 3) a x3 -f m -j^ =z — 2 b % x2 etc. Aus der ersten Gleichung ergiebt sich x, = A sin (*y|1+..»)-V« sm (p t) + v sin^q t + 4i wobei « = ~ und v = —2± mp2 — a vi q2 — a Es ist dies das bekannte Resultat fur unendlich kleine Schwingungen, wonach der mitschwingende Korper nur seinen eigenen Ton l/I und die ihm mitgetheilten p und q angiebt. Da der Eigenton hierbei schnell verschwindet, konnen wir A = 0 setzen. Dann giebt die Gleichung (2): u2 u2 ■ 2(imq2~a) cos2 (2* + c) + m(p-\)*-i cos *)*-*] u v m(p + 2)2 _ ; cos Up + 2) * + 4