Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.

Date:: [1837]

Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

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$( *5 ) § V. Étant donnée une fonction f[x) qui reste finie et continue ainsi que ses dérivées du premier et du second ordre f\x), f(x), entre les limites X = xot X = X > x0, on aura , en supposant x et a renfermés entre ces limites, f(u) /(•*) = f{a) + {X — a)f(a) + [x — a)a— la valeur de u étant elle-même renfermée entre a et x , à plus forte raison entre xa et X. Cela posé , nommons v et V la plus petite et la plus grande des valeurs que la fonction ^f'(x) puisse acquérir entre les limites xz=x,, x = X, ou bien encore des quantités dont la première soit inférieure à la plus petite de ces valeurs, et la se- conde supérieure à la plus grande. L’équation ~f{u) =M(e, V), jointe à celle qui précède, entraînera la formule f(x) — M[/(a) -f (x — à)f\à) + v{x — a)’, f {a) -f {x — a)f'{a) +V(æ- a)2] , Or, de ces dernières formules, jointes aux théorèmes 2 et 3 du § lr, on déduira immédiatement la proposition que je vais énoncer. Théorème ier. Soit (0 /(*) = o une équation dont le premier membre reste fonction continue de x, ainsi que ses dérivées du premier et du second ordre, entre les limites x=xa, x = X >• x0. Nommons v la plus petite, Y la plus grande des valeurs que la fonctiou \f(x) puisse recevoir entre les limites dont il s’agit, ou bien encore deux quantités, la première inférieure à la plus petite de ces valeurs, la seconde supérieure à la plus grande, et concevons que l’on résolve les équations du second degré (2) /(*,) +(*—*.)/'(*„) + v(x—xoy=o, f{x0) + {x—x0)f{xo) -f V(x—x0)*=o, (3) f(X) + (x-X)f'(X) + v(x-X)‘= o, f(X)+(x-X)f(X)-fV(* —X)*=o. Supposons d’ailleurs que, dans le cas où des valeurs réelles de x, ren- fermées entre x., X, vérifieraient, comme racines, soit l’équation ( 1 ï, 4$