Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.).

Cauchy, Augustin Louis, Baron, 1789-1857.

Date:: [1837]

Credit: Mémoire sur une méthode générale pour la détermination des racines réeles des équations algébriques ou même transcendantes / par m. Aug. Cauchy ... (Présenté en partie à l'Academie des sciences dans la séance du 4 septembre 1837.). Source: Wellcome Collection.

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$la première toujours croissante, la seconde toujours décroissante entre ces limites. La condition .r„ < m < X entraînera les suivantes 4>Vo) < <?>» < <P'(X), *(*„) << /(X) ; et en conséquence la fonction /» = ![?(«) - «(«)] sera supérieure à c, mais inférieure à Y, si l’on pose (7) = t[^W-x(X)], V =É[*(X) - *(*o)]. Donc alors on pourra, dans le théorème énoncé, attribuer à c et à Y les valeurs que fournissent les équations (7). Si, les limites x0 , X étant des quantités positives, l’équation ( 1) a pour premier membre une fonction entière de x, on pourra prendre pour Q{x) la somme des termes positifs de ce premier membre et pour — %{x) la somme des termes négatifs. Corollaire 2. Si les limites x„, X sont assez rapprochées l’une de l’autre pour que la fonction dérivée du troisième ordre f'(x) ne change pas de signe entre ces limites, la fonction dérivée du second ordre f(x) sera toujours croissante ou toujours décroissante depuis x=x0 jusqu’à x=X. On aura donc alors, pour une valeur de u comprise entre les limites données, f(u) = M[f(x0), /(X)], et par suite on pourra prendre pour e et V la plus petite et la plus grande des deux quantités i/'(*.)> i/(X). Corollaire 3. Supposons les valeurs de 0, V déterminées d'après une des règles énoncées dans les corollaires 1 et 2 , ou d’après toute autre réglé, en vertu de laquelle la condition f{u) — M(e, V) étant vérifiée pour toute valeur de u comprise entre x0, X, les limites c, V se rappro- cheraient l’une de l’autre en même temps que les limites xa, X. Supposons d’ailleurs que 1 équation (1) offre une ou plusieurs racines réelles com- prises entre les limites x,, X. L’existence de ces racines entraînera 4*»$