Beiträge zur Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane : Hermann von Helmholtz als Festgruss zu seinem siebzigsten Geburtstag / dargebracht von Th. W. Engelmann [and others].

Date:
1891
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Credit: Beiträge zur Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane : Hermann von Helmholtz als Festgruss zu seinem siebzigsten Geburtstag / dargebracht von Th. W. Engelmann [and others]. Source: Wellcome Collection.

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    der Zahlen aus der i, der Oktave davon 2 und der Quinte hiervon 3, mit ausschliefsHcher Verwendung der Oktaven und Quinten, dafs die zur AusRillung der Lücken erforderlichen Zahlen, welche ich deshalb Lückenzahlen nannte, also die Primzahlen P^ 3 und deren Produkte G, für sich zwei arith- metische Reihen mit der Dil^'erenz 6 bilden, nämlich 7 13, i9> 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61 . . . und 5, II, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59 . . . und bei Fortsetzung dieser Reihen keine Lücke unausgefüllt bleibt und kein P oder G in irgend welche andere Reihe hineinfällt: I 2 3 4 (5) 6 [7] ö 9 10 (11) 12 [13] 14 15 16 (17) 18 [19] 20 21 22 (23) 24 [25] 26 27 28 (29) 30 [31] 32 33 34 (35) 36 [37] 38 39 40 (41) 42 [43] 44 45 40 (47) 48 Dieses eigentümliche Verhalten der P und G findet seine Erklärung darin, dafs die erste Lücke vor der 6, zwischen den Oktaven von 2 und 3, auftritt, die dritte vor der 2 . 6, zwischen der Oktave der zur Ausfüllung der ersten Lücke erforderlichen Zahl (5), also 10, und der Oktave der ihr fol- genden 6, die fünfte vor der 3 . 6, zwischen der Oktave der Doppeloktave der 2 und der Oktave der Quinte der Oktave der 3, die siebente vor der 4 . 6, die neunte vor der 5 . 6 erscheinen mufs u. s. w., während die 2.4.6.8... Lücke hinter der 6, der 2.6, 3.6, 4.6... deshalb notwendig ent- steht, weil die Oktaven und Quinten aus 2 die betreffenden ganzen Zahlen nicht erzeugen können, somit allemal die Oktavenzahlen, zwischen denen eine Lücke entsteht, je um 6 höher sein müssen, als die der zugehörigen vorhergehenden Lücke, z. B. 24—18 = 22 16 26 20 = 24 — 18 18—12 = 16 —10 20—14 = 18—12 12— 6 = 10— 4 14— 8 = 12— 6 folglich auch V. HELMHOLTZ-Festschrift.