Beiträge zur Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane : Hermann von Helmholtz als Festgruss zu seinem siebzigsten Geburtstag / dargebracht von Th. W. Engelmann [and others].

Date:: 1891

Credit: Beiträge zur Psychologie und Physiologie der Sinnesorgane : Hermann von Helmholtz als Festgruss zu seinem siebzigsten Geburtstag / dargebracht von Th. W. Engelmann [and others]. Source: Wellcome Collection.

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$Die Endziffern der Zahlen bilden demnach von oben nach unten folgende fünfgliedrige Serien: in I und V und III 17395; in II und IV und VI 28406. Sämtliche Primzahlen, aufser den Generatoren 2 und 3, finden sich in I und V, und zwar alle von der Form ^j = 6;z -f- I, wo n eine beliebige positive ganze Zahl oder Null ist, in I, alle von der Form /y = 6« -]- 5 in V. Aufserdem finden sich in I und V nur noch Primzahlenprodukte aus Primfaktoren >-3, welche der Bedingung 6;z -f- i oder 6^ + 5 genügen. Also bestehen die Reihen I und V nur aus Lückenzahlen, und zwar enthalten sie alle P, das heifst alle pi und p^ und alle teilbaren Lückenzahlen G. Der Kürze halber sollen die Glieder dieser beiden Reihen, gleichviel ob prim oder nicht, mit g^, gy, die der vier anderen Reihen iTiit gn, gii\, gix, gyi bezeichnet werden. Dann sind alle ^n und giy reine Oktavenzahlen, d. h. Oktavenzahlen, welche nicht zugleich Quintenzahlen sind. Die Reihe II enthält alle Zahlen, und nur diese, welche Oktaven der gi und giy sind, also alle Zahlen von der Form 2 [6n -\- i) und von der Form 2 (6« -|- 4), somit ein Drittel aller geraden Zahlen; II zerfällt daher in zwei arithmetische Reihen mit d= 12, nämlich 2, 14, 26, 38 . . . und 8, 20, 32 . .- . Erstere liefert die Oktaven aller gi, letztere die aller giy. Die Reihe IV enthält alle Oktaven der ^n und gy und nur diese, also alle Zahlen von der Form 2[6n -|- 2) und 2[6n -\- 5), somit das zweite Drittel aller geraden Zahlen. Auch diese Reihe zerfällt in zwei Reihen mit ^=12, näm- Hch 4, 16, 28 . . . und 10, 22, 34 . . . Erstere enthält die Oktaven sämtlicher ^n. letztere die sämtlicher gy] IV ist also, wie II, eine reine Oktavenreihe. Die Reihe III enthält Quinten, und nur diese, von Ghedern der Reihen II, IV und VI. Jedes Glied dieser Reihen giebt eine Quinte, und von allen diesen Quintenzahlen enthält III nur diejenigen, welche nicht zugleich Oktavenzahlen sind.$