Volume 1

Thesaurus logarithmorum completus. : Vollständige Sammlung grösserer logarithmisch-trigonometrischer Tafeln.

  • Adriaan Vlacq
Date:
1889
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Credit: Thesaurus logarithmorum completus. : Vollständige Sammlung grösserer logarithmisch-trigonometrischer Tafeln. Source: Wellcome Collection.

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    Nunc per fericrum reverfionem, quae in com- Jetzt lafst lich durch die Umkehrungder Reihen, welche pencliis pluribus elemcntorum algebrae (e. g. in in verfchiedenen Handbuchern der Algebra vorkonnnt volumine primo praelectionum niearuni mathe- (als z. B. im erften Bande ineiner Vorlefungen iiber die maticarum editionis novae §. 2SS-* Vindobonae Mathematik der neuen Auflage §.288' Wien bey Wappler/ Wappleri hripenfis 1793. evftlgatae) docetur, ex 1793.), ans der Gleicbung 1. der Wertb von a durcb m, aequatione I. valor a per m, itemque ex aequatione und in der Gleichung II. der Werth von mx durch y aus- 1.1. valor mx per y exprimi pollunt. Neiupe ex I, gedriickt angeben. Aus I. und II, folgen namlich et II. confequuntur III. a = ;» 4 m- 2 + + 2. 3 + - 2.3.4 2 JL m IV. x = r fr-if + \tf i9 3.4.5 4 + -}y* - 4- Eft igitur ob log. (1 4~ y) ~ x V. log. (i + = | (j, - V*/5 + t !/? Coroll. I. Si z/ in V, negative fumitur, eft Es ift daber wegen log, (1 4- tj) = ? y4 + I y — i lJ6 ± Zufatz 1. Wenn man y in V. einen negativen Wertb beylegt, fo ift vi. log. (i-y) = — - csr + -f^ + iy-V+.^Kf + l!/5 + 7y5 + Eundem valorem hujus logarithmi reperia?, fi aequationem (r + a)~*= I —1/, ubi log. (1 —y) = — *eft, eodem modo, quo priorem (l + «)x = l-\-y, traclaveris. v Coroll. 2. Si VI. « V. fubtrahatur, prodit _a Eben diefen Werth fur log. (I — ij) findet man, wenn man die Gleicbung (1 + a)~* = i—y, wo log. (1—y) — — .v ift, eben fo wic die vorige (1 -\- a)x — 1 4 y behandeit. Zufatz 2. Subtraliift man VI. von V., fo ift y 7n 'y + t V + \ y5 + ■?■ ?/7 + J- */9 + ) und wegen (§. I. Zuf. 6.) log. (i + y)— log. (i propterque (§. I. coroll. 6.) f I 4/ ttl 2 VII. log. U-r-|j == .:- (y 4-v| + -| y* + .} + 5 4- Coroll. 3. Ut feries VII. ad ufum commoda fit, cito convergat oporiet; itleoque y fractio ge- 1 i-by _ tfff * nuina elfe debet. Sit m = —, eft V 4 bincque Zufatz 3. Damit nun die Reihc VII. in der Anwen- dung braucbbar fey, mnfs folcbe fchnell zufanmienlaufen;. und daher mufs y ein achter Bruch feyn. Es fey nun 1 r 1 + y iJr I x/ == —, fo ift = 7, und folslich VIII. loa. et porro ob (§. I. coroll. 6.) IX. log. fa + 1) = log. (q — I) 4 + 5-7 s + — + 7^7 9f 1—I 4- . . . ] und ferner wegen (§. m Coroll. 4. Quod fi in IX. priinum q = 2, deinde q ~~ 3 ponatur, priimmx log. 3, tiimque log. 2 cb log, 4™ 2 log. 2 obtihenfur. Poft loga- riibnii numeroruni omnium pviinorum ihfeqtien- tium deinceps reperiri pollunt; fogaritlmvos vero numeronim e factoribyis compolitoruin fecundum (§. I. coroll. 5.) fuppulare licet. Coroll. 5. Ut feries ad obtinendos numero- nim primorum logaritbmos citius convergens ba- q+l p2 beatur, ponatur in VIII. = ~ , eritque q — l f--1 + —r + 4- 1. Zuf. 6.) 1 4- 3-i sr 7(i Zufatz 4, Seizt man nun in IX. znerft £ = 2, und foclann<jr = 3, fo kann man dadurch znerft log. 3, fodann log. 2 wegen log. 4 = 2 log. 2 berecbnen. Daranf kann limn ferner die Logarithmen aller folgenden Primzahlen beftimmen, wo in/wifcben die Logarithmen der aus Fak- toren zulanmiengefelzten' Zahlcn lich nach (§. 1. Zuf. 5.) angeben lafieri. Zufafz 5. Um fiir die Bevecbnung der Logarithmen der Primzahlen eirie noch fchneller zufammenlaufende l\eihe zu erhalten, fetze man in VIII. = — q-l fo q — 2 p.1-— I; atque adeo pb log. —- — - — lo ■ log. (p r — lo». ( p1 — 1) = 2 log. p — log. (p — I) (p 4-1) = 2 log. p — log. (p —' i) log. (p 4- I) X. log. p = I* [log. Cp ift q~2p7 — log. (p2 == 2 lo ■ I; und daher wegen log. — log. p~ - I) = 2 log. p — log. (p — 1) (p 4 i) l°g. (P — J) — log. (p 4- I) endlich [2p- 1) 4- log. (p4-1)] + —r1-, + *(2p2— I)' ' 5(2P2— I)1 4- Coroll. 6. Jam fi in formula X. primum p ~ 2, deinde p —3 ponatur, conj;mctione dua- rum iftarum aequationum obtinentur ' log. 2 = - X m 17 3-7* Zufatz 6. Setzt man nun jn der Formel X. znerft p = 2, und fodann p — 3, fo findet mamdurch die Ver- bindung diefer zwey Gleicbungen 4- —4 1 r> 5.7s 7-77 9-79 w «7 4- 3.173 1 1 4 4. . 5. 175 7. 177 4- . J