Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

Roberto Bonola

Date:: 1919

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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$Poincares Abbildung (x — x^2 -f (y —y1ch p)2 =y\sk2p (o <[ p < 00) senkrecht schneiden. Die rechtwinkligen Koordinaten des Mittel¬ punktes und der Radius eines Kreises dieses Büschels sind durch a1 = x 1, b1 ch p, r1=y1sh p gegeben und jeder Kreis (K2) mit den Mittelpunktkoordinaten ’ ^2 (~ o) und dem Radius r' , wobei K = (a2 — xi)2jryl c/l2p ist, schneidet jeden Kreis Kt senkrecht, weil die Summe der Quadrate der Radien von Kx und K2 gleich dem Quadrat des Abstands ihrer Mittelpunkte ist A + rl = K — ai)2 + {bt - hf ■ Die Bilder der Geraden (durch r|t) sind also die Kreise K2 (durch xv y±), und zwar Kreise1, deren Mittel¬ punkte auf der „r-Achse liegen, die folglich die x- Achse senkrecht schneiden. Hieraus können auch die Bilder der Grenz kr eise und der Abstandslinien erschlossen werden. Das Bild eines Parallel¬ büschels von Geraden [mit gemeinsamem Ende] sind Kreise (K^j die alle auf der x-Achse einen Punkt gemein haben und sie dort” senkrecht schneiden. Die Bilder ihrer Orthogonaltra- jektorien, also von Grenzkreisen, deren Achsen ein Ende ge¬ mein haben, sind demnach Vollkreise, die die x-Achse im Bildpunkt des ,,Endes“ berühren. Abstandslinien sind Orthogonaltrajektorien eines Geraden¬ büschels, dessen Individuen auf einer Geraden senkrecht stehen, ihre Bilder also die Orthogonaltrajektorien von Kreisen (Äjj), die auf einem bestimmten Kreis K2 senkrecht stehen, daher wieder Kreise K2 oder vielmehr Kreisbogen, die mit dem Halbkreis K2, 1 Besser wäre es zu sagen „Halbkreise“, da als Feld nur die Halb¬ ebene y o in Betracht kommt.$