Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

Roberto Bonola

Date:: 1919

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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$auf die Tangentialebene im Punkte x = = o, z — i aus, so daß sich der Zusammenhang £ = x : z, i] : z ergibt. Dabei entsprechen den Hauptkreisen gerade Linien. Als „Entfernung“ zweier Punkte der Ebene setzen wir den sphärischen Abstand ihrer Bilder auf der Kugel fest, d. h. ^ = arccos (x\x2 +T1Y2 + %z2)* Hierfür kann jetzt, zunächst im Raum, dann in der Ebene, eine projektive Deutung gefunden werden. Der durchP^ix^y.z^, P2(x2y2z^ gehende Hauptkreis liegt in einer Ebene, deren wei¬ tere, vom Mittelpunkt 0 ausgehenden Geraden durch • * = xi + y_ = y\ + ^y% z zi + ’ z zi + bestimmt sind. Zwei Strahlen (m1m2) dieses Büschels liegen auf dem (imaginären) Asymptotenkegel x2 + y2 -f z2 = o, und die beiden Werte von \, welche diese Strahlen charakte¬ risieren, sind durch die Wurzeln Xx und X2 von o — x2 +j/2 + 02 = (xx + \x2)2 + [yt 4- \y2)2 + (z± + \z2)2 — 1 2 X cos s -f- X“ bestimmt. Für das Doppelverhältnis der Strahlen s1(OP1), s2(OP2) m1, m2 findet man auf Grund der Definition X2_ \ ’ und aus der quadratischen Gleichung ^2 _ 2 is \ ~ ’ und hieraus s = ~ log(.q, m, s2, m2). Die Geraden des Asymptotenkegels heißen nach Lie Mini¬ malgeraden, weil ihre Bogenelemente wegen der Gleichungs-$