Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    Elliptische Geometrie führen, unverändert bleiben. Gegeben werden diese Transfor¬ mationen durch dieselben Gleichungen: x = anx + a12y -f <x13s, V — CL21X + ^22-4 H“ ^23^’ S = 0t31x + a32y + a3dz, [mit den bekannten sechs Nebenbedingungen für die neun Koeffizienten], welche eine Drehung der Kugel in sich bedeuten. § 82. Warum haben wir uns mit dieser Deutung ab¬ gemüht, statt einfach die Zentralprojektion zu be¬ sprechen? Das hat zwei Gründe: Erstens können wir jetzt die ellip¬ tische Maßbestimmung in der Ebene verallgemeinern, indem wir dürch reelle projektive Transformation einen beliebigen „nullteiligen“, d. h. durch eine reelle Gleichung zweiten Gra¬ des dargestellten aber keine reellen Punkte enthaltenden Kegel¬ schnitt setzen, zweitens aber ist damit die beste Vorarbeit für die hyperbolische Maßbestimmung geleistet. Was den ersten Punkt betrifft, so brauchen die Definitionen der neuen Entfernungs- und Winkelmaße durch Doppelverhält- nisse nicht wiederholt zu werden. Für weitere Ausführung ist nur zu beachten, was die Bilder der Kreise, also die Kurven konstanten Abstands von einem Punkt sind. Auf der Kugel ist ein Kreis, der Schnitt mit einer beliebigen Ebene. Was ist eine Zentralprojektion? Wenn man durch einen Punkt außer¬ halb eines Ellipsoides oder einer Kugel die Tangenten legt und von seinem Scheitel aus eine Zentralprojektion auf irgend¬ eine Ebene vornimmt, so berühren die Projektionen der ebenen Schnitte die Zentralprojektion des Umrisses in zwei Punkten, und hieraus folgt durch entsprechende Übertragung der ana¬ lytisch leicht durchführbare Satz: Kreise sind in unserer elliptischen Maßbestimmung die in zwei [imaginären] Punkten den Fundamental¬ kegelschnitt berührenden Kegelschnitte. ßonola-Liebraann, Nichteuklid. Geometrie. 2. Aufl. IO