Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    Aus dem letzten Satz wird die Äquidistanz von zwei Par¬ allelen abgeleitet Zu den wichtigsten Folgerungen aus dieser Theorie gehört der bekannte Lehrsatz von der Winkelsumme im Dreieck und die Eigenschaften der ähnlichen Figuren. § 2. Schon die ältesten Erklärer des euklidischen Textes meinten, daß das V. Postulat nicht hinreichend selbstverständ¬ lich sei, um es ohne Beweis hinzunehmen, weshalb sie ver¬ suchten, es als Folgerung aus anderen Sätzen abzuleiten. Proclus [410—485] überliefert uns in seiner Erklärung zum ersten Buch Euklids1 wertvolle Nachrichten über die ersten in dieser Hinsicht gemachten Versuche. Er berichtet z. B., daß Posidonius [im I. Jahrh. v. Chr. | vorgeschlagen hatte, zwei Gerade in einer Ebene parallel zu nennen, wenn sie gleichen Abstand haben. Diese Definition und die von Euklid entsprechen also zwei Tatsachen, die sich getrennt vorfmden können, und Proclus [S. 177] führt, wobei er auf eine Abhandlung von Geminos [I. Jahrh. v. Chr.] verweist, in dieser Beziehung die Beispiele der Hyperbel und der Con- choide an und ihr Verhalten in bezug auf die entsprechenden Asymptoten, um zu zeigen, daß Linien im euklidischen Sinne parallel sein können, d. h.? daß diese Linien ins Unendliche verlängert, einander nicht treffen, und trotzdem nicht parallel im Sinne von Posidonius, d. h. nicht äquidistant sind. Diese Tatsache wird von Ge minus — immer nach Angabe des Proclus — als die widersinnigste [TrapaboSoTaxov] der ganzen Geometrie bezeichnet. Weiter lehnt Proclus [S. 364] ab, es unter die Forderungen zu rechnen; er erwähnt zur Unterstützung dieser seiner Ansicht die Tatsache, daß seine Umkehrung [,,Die Summe zweier Winkel eines Dreiecks ist kleiner als zwei Rechte“] ein von Euklid bewiesener Lehrsatz ist [Prop. XVII], und es 1 Den Text des Proclus entnehmen wir aus G-. Friedleins Aus¬ gabe: Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum Commen- tarii. Leipzig 1873, Teubner.
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