Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

Roberto Bonola

Date:: 1919

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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$Das Doppelverhältnis, das zwei Durchmesser durch Pi{xvyvz^ und P2(x2,y2, z2) mit den Erzeugenden des Asymptotenkegels bilden, die in der Ebene P±0P2 liegen, ist wieder (vgl. § 81) der Quotient der beiden Wurzeln der Gleichung 0 = (zi + ^2)2 ixi “l- ^x2^2 — Oh + \f2)2 1 “f- 2 x (%^ z2 x2 tit2)^ * Setzen wir z1z2 — x1x2 —y^ ~ Cj^s’ so wird und wenn wir jetzt als „Längenmaß“, als „Entfernung“ P1P2 bzw. in der Zentral¬ projektion als „Entfernung“ QtQ.2 einführen, so ist damit eine Maßbestimmung gewonnen, die unverändert bleibt, wenn man irgendeine projektive Transformation ausführt, die O festhält und das Hyperboloid in sich überführt. Die perspektivische Übertragung ordnet den Punkten P die Punkte Q zu, die innerhalb des vom Asymptotenkegel ausge¬ schnittenen „Fundamentalkegelschnittes“ £2 -f n2 — 1 = o liegen, und das „hyperbolische“ Entfernungsmaß ist der halbe Logarithmus des Doppelverhältnisses der Punkte Q1S1 Q%S2, wo¬ bei und S2 die Schnittpunkte der Verbindungslinie Q1Qi und des Fundamentalkegelschnittes sind. Den Diametralschnit¬ ten des Hyperboloides entsprechen Gerade, und das Entfer- mmgsmaß ist unveränderlich bei projektiven Transformationen der Ebene, die den Fundamentalkegelschnitt in sich überfüh¬ ren; außerdem verhält es sich additiv, d. h. für drei Punkte einer Geraden hat man [QM + [QM log ( *5. ft . S& 7 lo*( s,Qi . M ^2 Qi *^3 Qä ) + 7^g SiQ, 2Ö8 [üi Ge]» •w$