Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

Roberto Bonola

Date:: 1919

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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$Bogenelement (als Probe) so daß es allen Anforderungen einer „Bewegung“ genügt. Daß man hiermit tatsächlich ein Bild der nichteuklidischen Geometrie im engeren Sinn vor sich hat, erkennt man am kürzesten durch Berechnung der quadratischen Differentialform für das Maß des Bogenelementes; man hat nämlich aus ch (ds) — 0(0 -f dz) — x(x -f- dx) —y(y -p dy) durch Entwicklung auf der linken Seite 1 -f- \ds2 und auf der rechten Seite, kommt wegen (0 -j- dz)2 — (x -j- dx)2 — (y -f dy)2 = z2 — x2 —y2 = 1, als Ergebnis z2 — x2 —y2 -f- zdz — x dx —ydy — 1 -f- j(dx2 -f- dy2 — dz2). Es ist also in dieser Maßbestimmung ds2 — dx2 -j- dy2 — dz2 = — d2 (chr) -f- d2 (sh r cos qp) -j- d2 (shr sin cp) = dr2 -{- sh2rd<y>2, in Übereinstimmung mit dem Bogenelementquadrat der nicht¬ euklidischen Ebene (§ 76), [Der Vollständigkeit halber wollen wir noch das Bogenele¬ ment der hyperbolischen Maßbestimmimg durch die Koordi¬ naten H und r| ausdrücken. Es ist Eni x =-, y =---, 0 = .-.-.■ , ]/i — E2 — r)2 j/i—t2 — n2 ]/i — E2 — v)2 daher d* - d*> + dy - d* = ' • (i — t2 — rp)2 ’ eine Form, die auch Beltrami1 als Ausdruck des Bogenele¬ mentes auf den Flächen konstanter negativer Krümmung fest¬ gestellt hat.] Ann. di Mat. VII, p. 185 fr. — Opere Mat. I, p. 262—280 (1902). 1$