Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
Catalogue details

Licence: Public Domain Mark

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

    167/232 (page 153)
    Cayley und Klein schwer es war, bis diese auf einen weiteren, noch tiefergehen¬ den Gedanken von Kleins Abhandlung zu gründende Erkennt¬ nis sich durchrang, dafür ist wieder Cayley ein klassischer Zeuge. Er unterschrieb noch im Jahre i88q den Zweifel von R. S. Ball: ,,In dieser Theorie scheint es, als ob wir versuchen, den gewöhnlichen Begriff des Abstands zweier Punkte durch den Logarithmus eines gewissen Doppelverhältnisses zu er¬ setzen. Dieses Doppelverhältnis aber begreift doch die Vor¬ stellung der in gebräuchlicher Weise gemessenen Entfernung in sich. Wieso darf man nun den alten Abstandsbe¬ griff durch den nichteuklidischen Begriff ersetzen, da doch gerade die Definition des letzteren den erste- ren voraussetzt?“ Die Antwort auf diese Frage lag bereits vor, als sie von Cayley und Ball gestellt wurde. Sie ist gegeben durch die von Klein begründete Umkehrung der Gedankenfolge. Die klassische projektive Geometrie beruht gewiß letzten Endes auf Verwendung euklidischer Maßverhältnisse: Die neue, aus von Staudts [1798—1867] Forschungen erwachsene Geometrie der Lage läßt sich so gestalten, daß ihre Schlüsse sich nir¬ gends mehr auf euklidische Maßverhältnisse oder auch nur auf das Euklidische Postulat (daß es in der Ebene durch einen Punkt P außerhalb einer Geraden g nur eine g Nichtschnei¬ dende gibt) stützen. Die ,,Maßverhältnisse“ werden hinterher freilich als Zahlen eingeführt, aber diese Zahlen haben nicht mehr die Bedeutung von Kardinalzahlen (Fassung von Mes¬ sungen), sondern von Ordinalzahlen und sind Umschrei¬ bungen von Konstruktionen, die man sich nicht mit Maßstab und Transporteur, sondern mit dem Lineal allein durch Pro¬ jizieren und Schneiden oder noch anders gesagt, durch Ein¬ visieren, „Einweisen“ ausgeführt zu denken hat. Wie ist die Einführung der Ordinalzahl möglich? Ein einfaches Beispiel, die Bezifferung der Punkte einer Ge¬ raden, mag dies zeigen. Es ist bekannt, daß die Schnittpunkte