Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

Roberto Bonola

Date:: 1919

Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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$Sind zwei Geraden einer dritten in demselben Sinne par¬ allel, so sind sie auch untereinander in diesem Sinne par¬ allel. § 8g. Die Cliffordsche Fläche. Die beiden Scharen von Clifford sehen Parallelen zu einer Geraden g im Abstand a TU von ihr [oder-a von ihren Polaren £•'] liegen auf einer Fläche, der Clifford sehen Fläche. Die Cliffordsche Fläche geht bei Drehung um g [mit Drehwinkel cp] verbunden mit Schiebung längs g [Schiebungsstrecke ip] in sich über, und diese Drehungen und Schiebungen sind zugleich Schiebung längs g und Drehungen um g. Der Parameter q> der Dre¬ hung um g ist zugleich der Parameter der Schiebung längs g' und umgekehrt, wie aus den Betrachtungen des vorigen Paragraphen folgt. Jede Cliffordsche Fläche gestattet also eine ,,zweigliedrige kontinuierliche Gruppe von Punkttransfor¬ mationen“ in sich, deren Komponenten als Schiebungen [oder Drehungen] gedeutet werden können. Dieser Umstand kann die Vermutung nahe legen, daß die Flächen auf die eukli¬ dische Ebene abwickelbar sind. Am einfachsten bestätigt man diese Eigenschaft, die die Cliffordsche Fläche gewissermaßen in Analogie zur Grenz¬ kugel der hyperbolischen Raumgeometrie setzt, durch Berech¬ nung des Bogenelementes. Ist a der Abstand von der Achse g, dep der Winkel der durch zwei Nachbarpunkte der Fläche und die Achse g gelegten Meridianebenen, d\\> der Abstand der Fußpunkte der von den Punkten auf die Achse gefällten Lote, so wird ^.8 = sinaa(Ap2 + C0SWV2 = du2 -f- dv2, wobei u — cp sin#, v = ipeos# gesetzt ist. — Man kann die Abwickelbarkeit auf die eukli¬ dische Ebene, die aus dieser Gestalt der quadratischen Diffe¬ rentialform für das Quadrat des Bogenelementes folgt, auch$