Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text.

  • Roberto Bonola
Date:
1919
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Credit: Die nichteuklidische geometrie : historisch-kritische Darstellung ihrer Entwicklung / Autorisierte deutsche Ausgabe besorgt von prof. dr. Heinrich Liebmann. Mit 52 figuren im text. Source: Wellcome Collection.

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    Reguläre Räume i6f auf grundsätzlich mehr elementaren, rechnerisch umständliche¬ ren Weg durch Lösung von Funktionalgleichungen ableiten, was an dieser Stelle aber wohl unterlassen werden darf. Das Clifford-Kleinsche Problem.1 § go. Die Clifford sehe Fläche ist ein Beispiel einer zwei¬ dimensionalen Mannigfaltigkeit, auf der für die Umgebung eines Punktes die euklidische Geometrie herrscht, dagegen nicht im Gesamtgebiet. Auf der Clifford sehen Fläche treten zwei Scharen von geschlossenen geodätischen Linien hervor, näm¬ lich die Clifford sehen Parallelen zu den beiden Achsen. Sie sind geschlossen und von endlicher Länge, sie zerlegen die Fläche in Parallelogramme, ln der euklidischen Ebene dagegen gibt es keine in sich zurücklaufenden Geraden von endlicher Länge. In etwas kürzerer Fassung gesagt: Die Clifford sehe Fläche ist ein ringförmiges Gebilde — näm¬ lich der Torus [Kreiswulst] des elliptisch-sphärischen Raumes, die euklidische Ebene nicht. Sie ist überall regulär, aber sie hat nicht denselben Zusammenhang. — Ganz anders die Grenz¬ kugel des hyperbolischen Raumes: Ihre Geometrie ist auch „im Großen*4 S. identisch mit der auf der euklidischen Ebene! (§ 67-) ... Aus diesen Beispielen erklärt sich der Gegenstand des Clif- ford-Kleinschen Problems, nämlich der Bestimmung aller zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten konstan¬ ter Krümmung, die überall regulär sind. Im euklidischen Raum gibt es als derartige Raumformen der Krümmung Null nur die Ebene, und die Zylinder mit geschlos¬ senem Querschnitt, von konstanter positiver Krümmung nur die 1 F. Klein, Zur nichteuklidischen Geometrie. Math. Ann. 37 (1890), S. 544—572, auch im „Evanston Colloquium“ (angeführt unten § 94). — W. Killing, Einführung in die Grundlagen der Geometrie I (Pader¬ born 1893), S. 271 — 349.